正題

題目鏈接:https://loj.ac/p/6503

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題目大意

$n$張卡$m$種，第$i$種卡有$a_i$張，求所有排列中有$k$對相鄰且相同的卡牌。

$1\le n\le 10^5,0\le k\le 10^5,1\le m\le 20000,{\sum }_{i=1}^m{a}_i=n$

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解題思路

$k$對相鄰的相同，就是可以分成有$n?k$組相同的。

考慮這個問題，把每組牌分成若干組插到不同位置，先不考慮這樣可能插到相鄰位置的情況我們后面可以再用容斥消掉。

那么對于一個$a$，分成$i$組的方案就是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a?1}{i?1}\right)$，因為排列，列出生成函數${\sum }_{i=1}^a\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a?1}{i?1}\right)\frac{x^i}{i!}$。

然后用分治$NTT$乘起來，最后第$i$項乘上一個$i!$就是方案了。

然后考慮容斥，枚舉一個$i\le n?k$然后相當于至少有$k$對相鄰，現在要減去更多的，所以容斥系數就是$(?1{)}^{n?k?i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n?i}{k})$

時間復雜度$O(n\log n\log m)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=2e5+10,T=19,P=998244353; struct Poly{ll a[N<<2],n; }F[T+1];bool v[T+1]; ll m,n,k,w[N],inv[N],fac[N],r[N],x[N],y[N]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } void NTT(ll *f,ll n,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=buf*f[i+len]%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll invn=power(n,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return; } void Mul(Poly &F,Poly &G){ll n=1;while(n<F.n+G.n-1)n<<=1;for(ll i=0;i<F.n;i++)x[i]=F.a[i];for(ll i=0;i<G.n;i++)y[i]=G.a[i];for(ll i=F.n;i<n;i++)x[i]=0;for(ll i=G.n;i<n;i++)y[i]=0;for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);NTT(x,n,1);NTT(y,n,1);for(ll i=0;i<n;i++)x[i]=x[i]*y[i]%P;NTT(x,n,-1);for(ll i=0;i<n;i++)F.a[i]=x[i];F.n=F.n+G.n-1;return; } ll FindA(){for(ll i=0;i<T;i++)if(!v[i]){v[i]=1;return i;} } ll C(ll n,ll m) {return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;} ll NTT(ll l,ll r){if(l==r){ll x=FindA();for(ll i=1;i<=w[l];i++)F[x].a[i]=inv[i]*C(w[l]-1,i-1)%P;F[x].n=w[l]+1;return x;}ll mid=(l+r)>>1;ll ls=NTT(l,mid),rs=NTT(mid+1,r);Mul(F[ls],F[rs]);v[rs]=0;return ls; } signed main() {scanf("%lld%lld%lld",&m,&n,&k);inv[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;fac[0]=inv[0]=1;for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;for(ll i=1;i<=m;i++)scanf("%lld",&w[i]);ll p=NTT(1,m),ans=0;for(ll i=n-k,f=1;i>=m;i--,f=-f)ans=(ans+f*F[p].a[i]*fac[i]%P*C(n-i,k)%P)%P;printf("%lld\n",(ans+P)%P);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Loj#6503-「雅礼集训 2018 Day4」Magic【分治NTT】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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