正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7294

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題目大意

$n\times m$的網格，當你在$(x,y)$時你有兩種選擇

花費$x^2$的代價向右移動

花費$c_y$的代價向下移動

$q$次詢問$(1,1)$走到$(x,y)$的最小代價。

$1\le n\le 10^9,1\le m,q\le 2\times 10^5$

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解題思路

假設我們開始都是直接走最上面向右的路（也就是代價都是$1^2$）。

然后考慮在某個位置$(x,y)$要走到$(n,m)$時向下走會產生的貢獻為$c_y+(m?y)\times (2x+1)$（后面要抬$m?y$個橫著走，然后從$x^2$到$(x+1{)}^2$要到加$2x+1$）。

然后拆一下就是$c_y+m?y+2xm?2xy$。發現斜率$?2y$是按照$y$遞增遞減的，而且我們要求選出的若干個$c_y$的$y$一定要遞增，但是這樣的話我們選出來的一定是遞增的所以我們只需要考慮對于每個$x$選擇一個$y$使得最小化$c_y+(m?y)\times (2x+1)$。

按照詢問排序，一個一個加入新的$c_y$，按照斜率維護一個上凸殼，然后在凸殼上面二分就好了。

時間復雜度$O(m+q\log m)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=2e5+10; struct node{ll n,m,id; }q[N]; ll n,m,t,top,b[N],k[N],s[N],sum[N],l[N],r[N],ans[N]; ll calc(ll i,ll j)//i<j {return (b[j]-b[i]+k[i]-k[j]-1)/(k[i]-k[j]);} ll cap(ll i,ll j){ll x=calc(i,j);if(x<=l[i])return 1;return 0; } ll getf(ll x,ll l,ll r) {return (r+l)*(r-l+1)/2*k[x]+b[x]*(r-l+1);} bool cmp(node x,node y) {return x.m<y.m;} signed main() { // freopen("data.in","r",stdin); // freopen("data.out","w",stdout);scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=m;i++){scanf("%lld",&b[i]);b[i]=b[i]-i;k[i]=2*(-i);}scanf("%lld",&t);for(ll i=1;i<=t;i++){scanf("%lld%lld",&q[i].n,&q[i].m);q[i].id=i;}sort(q+1,q+1+t,cmp);for(ll i=1,z=1;i<=m;i++){r[i]=n;while(top>0&&cap(s[top],i))top--;if(top)l[i]=max(calc(s[top],i),1ll);else l[i]=1;if(l[i]<=r[i]){r[s[top]]=l[i]-1;s[++top]=i;sum[top-1]=((top>1)?sum[top-2]:0)+getf(s[top-1],l[s[top-1]],r[s[top-1]]);sum[top]=sum[top-1]+getf(i,l[i],r[i]);} while(z<=t&&q[z].m<=i){ll qn=q[z].n-1,L=1,R=top;while(L<=R){ll mid=(L+R)>>1;if(r[s[mid]]<qn)L=mid+1;else R=mid-1;}ans[q[z].id]=sum[L-1]+getf(s[L],l[s[L]],qn)+(qn+1)*qn*i+i*qn+i-1;z++;}}for(ll i=1;i<=t;i++)printf("%lld\n",ans[i]);return 0; }

總結

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