正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3352

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題目大意

$n$個數字的一個序列，每次隨機選擇一個區間讓這個區間所有數等于這個區間的最大值，重復$q$次，對每個位置求所有情況下這個位置的值的和。

$1\le n,q\le 400$，保證數據隨機

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解題思路

設$f_{k,l,r}$表示使用了$k$次目前覆蓋了極大區間$l,r$時的方案。

這個極大區間就是無法繼續向左右擴展（就是左右兩邊是邊界或者比這個區間內所有數都大），不然相同的方案會統計入不同的數組導致算重。

然后每次我們找一個數字開始向左右擴展到極大區間進行$dp$，然后$dp$方程是
$$f_{k,l,r}=f_{k?1,l,r}\times g_{l,r}+\sum _{i=L}^{l?1}{f}_{k?1,i,r}+\sum _{i=r+1}^R{f}_{k?1,l,i+1}$$
也就是固定端點的情況下擴展極大區間，因為是反過來的所以這樣是對的。

然后記錄一個$dp$數組$an{s}_{i,j}$表示數字$i$至少為第$j$小的情況數，這個每次$dp$后都可以統計。

上面每個$dp$區間相當于笛卡爾樹上的區間，因為數據隨機，所以每個位置只會計算$log$次。

時間復雜度$O(n{q}^2+n^3)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=410,P=1e9+7; ll n,q,a[N],b[N],rk[N],f[2][N][N],ans[N][N],cnt[N]; void solve(ll x,ll L,ll R){for(ll i=L;i<=R;i++)for(ll j=i;j<=R;j++)f[0][i][j]=f[1][i][j]=0;f[0][L][R]=1;for(ll k=1;k<=q;k++){for(ll i=L;i<=R;i++)for(ll j=i;j<=R;j++)f[k&1][i][j]=f[~k&1][i][j]*(cnt[j-i+1]+cnt[i-1]+cnt[n-j]);for(ll i=L;i<=R;i++){ll buf=0;for(ll j=R;j>=i;j--){(f[k&1][i][j]+=buf)%=P;(buf+=f[~k&1][i][j]*(n-j))%=P;}}for(ll j=L;j<=R;j++){ll buf=0;for(ll i=L;i<=j;i++){(f[k&1][i][j]+=buf)%=P;(buf+=f[~k&1][i][j]*(i-1))%=P;}}}for(ll i=L;i<=R;i++){ll buf=0;for(ll j=R;j>=i;j--){(buf+=f[q&1][i][j])%=P;(ans[j][rk[x]]+=buf)%=P;}}return; } signed main() {scanf("%lld%lld",&n,&q);for(ll i=1;i<=n;i++)cnt[i]=i*(i+1)/2; for(ll i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);b[i]=a[i];}sort(b+1,b+1+n);ll m=unique(b+1,b+1+n)-b-1;for(ll i=1;i<=n;i++)rk[i]=lower_bound(b+1,b+1+m,a[i])-b;for(ll i=1;i<=n;i++){ll L=i,R=i;while(L>1&&a[L-1]<a[i])L--;while(R<n&&a[R+1]<a[i])R++;solve(i,L,R);}for(ll i=1;i<=n;i++){ll sum=0;for(ll j=1;j<=n;j++){if(!ans[i][j]){continue;}for(ll k=1;k<j;k++)(ans[i][j]+=P-ans[i][k])%=P;(sum+=ans[i][j]*b[j]%P)%=P;}printf("%lld ",sum);}return 0; }

總結

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