正題

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題目大意

在有$n$個區間的左右端點在$[0,l)$范圍內隨機，求被至少$k$個區間覆蓋的期望長度。

$1\le n,k\le 2000,1\le l\le 10^9$

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解題思路

長度為$l$上的數軸上$2\times n$個隨機點的話期望距離都是$\frac{l}{2n+1}$。

所以我們只需要考慮期望有多少個相鄰點對之間被$k$個區間覆蓋然后再乘上上面那個長度就行了。

然后考慮$dp$，設$f_{i,j}$表示現在到第$i$個端點，前面有$j$個區間延伸過來，之后還剩$n?j?\frac{i?j}{2}$個還沒有出現的區間，$j$個還待結束的區間。

然后每次轉移完加上不小于$k$個區間延伸到下一個的概率即可。

時間復雜度：$O(nk)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=4100,P=998244353; ll n,k,l,ans,inv[N],f[N][N]; signed main() {scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&l);inv[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;f[0][0]=1;for(ll i=0;i<2*n;i++){for(ll j=0;j<=min(i,n);j++){if((i-j)&1)continue;ll w=n-j-(i-j)/2;if(j)(f[i+1][j-1]+=f[i][j]*j%P*inv[w*2+j]%P)%=P;(f[i+1][j+1]+=f[i][j]*w*2ll%P*inv[w*2+j]%P)%=P;}for(ll j=k;j<=min(i,n);j++)(ans+=f[i][j])%=P;}for(ll j=k;j<=n;j++)(ans+=f[2*n][j])%=P;printf("%lld\n",ans*l%P*inv[2*n+1]%P);return 0; }

總結

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