正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P1232

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題目大意

給出$n$個點的樹的$dfs$序和$bfs$序，求所有合法的樹的平均深度。

$1\le n\le 2\times 10^5$

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解題思路

$bfs$應該是最好開始考慮的，因為$bfs$序的深度肯定是遞增的，所以可以把$bfs$序分成若干段相同深度的段，注意到$dfs$序對$bfs$序的限制是在同一層內的$dfs$序一定要遞增。

記$b_i$表示排在$bfs$序的第$i$個對應的$dfs$序，那么如果$b_i>b_{i+1}$那么處于$i$位置的節點就必須要分層，其他都可以選擇分不分層。

然后再考慮$dfs$序的其他限制，考慮$dfs$序上相鄰的節點，記$a_i$表示排在$dfs$序的第$i$個對應的$bfs$序。

此時如果$a_i>a_{i+1}$那么顯然$i$沒有兒子并且$dfs$序直接跳到了其祖先的某個兒子處，不受影響。如果$a_i+1=a_{i+1}$那么此時$i+1$既可能在$i$的同層也可能在$i$的下一層，但是如果$a_i+1<a_{i+1}$那么在$a_{i+1}$之前不可能分層，因為如果分了那么肯定會優先$dfs$下一層的節點，所以只有可能是$bfs$位于$a_i～a_{i+1}?1$的在同一層。

然后剩下的節點都是既可以分層也可以不分層的，這些點會產生$0.5$的貢獻。

時間復雜度：$O(n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N=2e5+10; int n,a[N],b[N],A[N],B[N],s[N],ans; int main() {scanf("%d",&n);ans=4;s[1]=1;s[2]=-1;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),A[a[i]]=i;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]),B[b[i]]=i;for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=B[a[i]],b[i]=A[b[i]];for(int i=1;i<n;i++)if(a[i]+1<a[i+1])s[a[i]]++,s[a[i+1]]--;for(int i=1;i<n;i++)if(b[i]>b[i+1])s[i]++,s[i+1]--,ans+=2;for(int i=1,k=0;i<n;i++)k+=s[i],ans+=k?0:1;printf("%.3lf\n",ans/2.0);return 0; }

總結

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