正題

題目鏈接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/24346/L

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題目大意

有一張$2n$個點的完全圖，在上面刪除一棵生成樹，然后求這張圖的完全匹配方案數(shù)。

$1\le n\le 2000$

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解題思路

考慮容斥，可以$dp$出$f_{i,j,0/1}$表示$i$的子樹中有$j$條邊必須匹配，當前點有/沒有匹配的方案，這個可以通過枚舉子樹大小做到$O(n^2)$

然后除了已經(jīng)匹配的點，剩下的點可以任意匹配，考慮$2n$個點的完全圖的匹配方案，我們可以先選出$n$個點放在左邊，然后剩下的任意匹配，但是注意到會重復(fù)，每一邊都可以選擇交換，所以會被算重$2^n$次，所以方案就是
$$\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)\times n!}{2^n}$$

然后如果指定了$k$條邊必選那么容斥系數(shù)就是$(?1{)}^k$就好了。

時間復(fù)雜度：$O(n^2)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=4100,P=998244353; struct node{ll to,next; }a[N<<1]; ll n,tot,ls[N],fac[N],inv[N],pw[N]; ll f[N][N/2][2],g[N/2][2],siz[N],ans; void addl(ll x,ll y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return; } void dfs(ll x,ll fa){siz[x]=1;f[x][0][0]=1;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa)continue;dfs(y,x);for(ll j=0;j<=(siz[x]+siz[y])/2;j++)g[j][0]=g[j][1]=0;for(ll j=0;j<=siz[x]/2;j++)for(ll k=0;k<=siz[y]/2;k++){(g[j+k][0]+=f[x][j][0]*(f[y][k][0]+f[y][k][1])%P)%=P;(g[j+k][1]+=f[x][j][1]*(f[y][k][0]+f[y][k][1])%P)%=P;(g[j+k+1][1]+=f[x][j][0]*f[y][k][0]%P)%=P;}siz[x]+=siz[y];for(ll j=0;j<=siz[x]/2;j++)f[x][j][0]=g[j][0],f[x][j][1]=g[j][1];}return; } ll C(ll n,ll m) {return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;} ll Mac(ll n) {return C(n*2,n)*fac[n]%P*pw[n]%P;} signed main() {scanf("%lld",&n);n=n*2;fac[0]=inv[0]=inv[1]=pw[0]=1;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;for(ll i=1;i<N;i++)pw[i]=pw[i-1]*inv[2]%P;for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;for(ll i=1;i<n;i++){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}dfs(1,0);for(ll i=0;i<=n/2;i++){ll w=(f[1][i][0]+f[1][i][1])%P;w=w*Mac(n/2-i)%P;(ans+=(i&1)?(P-w):w)%=P;}printf("%lld\n",ans);return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的第46届ICPC亚洲区域赛(沈阳)L-Perfect Matchings【dp,组合数学】的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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