正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7962

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題目大意

給出一個長度為$n$的序列$a$，你每次可以讓一個$a_i(1<i<n)=a_{i?1}+a_{i+1}?a_i$，求能變出的最小方差。

$1\le n\le 400,1\le a_i\le 600$或$1\le n\le 10^4,1\le a_i\le 50$

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解題思路

民間數據過了就當過了吧

這個式子顯然我們可以差分之后變成交換相鄰的數，讓所有的數都減去$a_1$這樣方差不變并且第一個保證為$0$，然后我們記差分數組$b_i=a_{i+1}?a_i$，那么化一下答案的式子就是
$$n\sum _{i=1}^n{a}_i^2?{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^2?n\sum _{i=1}^{n?1}{\left(\sum _{j=1}^i{b}_j\right)}^2?{\left(\sum _{i=1}^{n?1}{b}_i(n?i)\right)}^2$$

這個式子乍一眼我們看不出什么，但是我們可以得到每個$b_i$對之間乘積的權重記為$f_{i,j}$，會發現$f_{i,j}$是按照$i/j$相互之間越接近/越接近中間而遞增的，但是依然會出現一些邊邊的靠近數對的情況比中間的不那么靠近數對的權重要高。

一個直觀的想法是類似于一個山谷之類的填法，打幾個表之后不難發現確實是從一個點往兩邊遞增的規律。

考慮在此基礎上進行$dp$，考慮在一個填好的序列的前面/后面加上一個數字會產生的變化，記$ans$為原來的答案，記$L$為題目中給出的$n$（因為目前我們還沒有放完$n$個數字，所以此時的$n$不一樣），$x$為插入的數組。

• 插在前面：
  $$L\sum _{i=1}^{n?1}{\left(\sum _{j=1}^i{b}_j+x\right)}^2?{\left(nx+\sum _{i=1}^{n?1}{b}_i(n?i)\right)}^2$$
  $$?ans+Ln{x}^2+2Lx\sum _{i=1}^{n?1}{b}_j?2nx\sum _{i=1}^{n?1}{b}_i(n?i)?n^2{x}^2$$
• 插在后面：
  $$L?\sum _{i=1}^{n?1}{\left(\sum _{j=1}^i{b}_j\right)}^2+{\left(x+\sum _{i=1}^{n?1}{b}_i\right)}^2??{\left(x+\sum _{i=1}^{n?1}{b}_i+\sum _{i=1}^{n?1}{b}_i(n?i)\right)}^2$$
  $$?ans+L{\left(x+\sum _{i=1}^{n?1}{b}_i\right)}^2?{\left(x+\sum _{i=1}^{n?1}{b}_i\right)}^2?2\left(x+\sum _{i=1}^{n?1}{b}_i\right)\left(\sum _{i=1}^{n?1}{b}_i(n?i)\right)$$

然后會發現我們很難知道${\sum }_{i=1}^{n?1}{b}_i(n?i)$這個東西，所以考慮放進$dp$數組里面維護，但是如果丟進去維護了后面那個東西就完全沒有必要了，所以可以刪掉很多復雜的部分。

那么設$f_{i,j}$表示目前填了$i$個${\sum }_{i=1}^{n?1}{b}_i(n?i)=j$時的最小方差，然后就可以$O(1)$轉移了。

這樣的時間復雜度是$O(n^2{a}_i)$的，可以拿到$88$分，我在考場上就止步于此了。

現在來分析一下最后一個點$a_i\le 50$的性質，也就是說差分數組里面最多只有$50$個數是有值的，所以有一堆$0$，直接動態更新$dp$枚舉的上界就過了。
時間復雜度：$O(n{a}_i\min \{a_i,n\})$

$好不容易那么接近一次正解，你卻讓我輸的那么徹底，焯！$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=5e5+10,inf=1e18; ll n,L,a[N],s[N],f[2][N],ans; signed main() {scanf("%lld",&n);if(n==1)return puts("0");for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);L=n*a[n];ans=inf;for(ll i=1;i<n;i++)a[i]=a[i+1]-a[i];n--;sort(a+1,a+1+n);L=a[1];for(ll i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+a[i];for(ll i=0;i<=L;i++)f[1][i]=inf;f[1][a[1]]=a[1]*a[1];for(ll k=2;k<=n;k++){int R=s[k]*k;for(ll i=0;i<=R;i++)f[k&1][i]=inf;for(ll i=0;i<=L;i++){if(f[~k&1][i]!=inf){f[k&1][i+a[k]*k]=min(f[k&1][i+a[k]*k],f[~k&1][i]+k*a[k]*a[k]+2ll*i*a[k]);f[k&1][i+s[k]]=min(f[k&1][i+s[k]],f[~k&1][i]+s[k]*s[k]);}}L=R;}for(ll i=0;i<=L;i++)if(f[n&1][i]!=inf)ans=min(ans,f[n&1][i]*(n+1)-i*i);printf("%lld\n",ans);return 0; } /* 10 6 19 34 35 56 63 82 82 83 99 */

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P7962-[NOIP2021]方差【dp,差分】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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