正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5518

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題目大意

$T$次給出$A,B,C$求以下三個式子
$$\prod _{i=1}^A\prod _{j=1}^B\prod _{k=1}^C\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,k)}$$
$$\prod _{i=1}^A\prod _{j=1}^B\prod _{k=1}^C{\left(\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,k)}\right)}^{i\times j\times k}$$
$$\prod _{i=1}^A\prod _{j=1}^B\prod _{k=1}^C{\left(\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,k)}\right)}^{gcd(i,j,k)}$$

$1\le T\le 70,1\le A,B,C\le 10^5$

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解題思路

開始寫了個$O(Tn\log n)$結果發現不能過，然后就多浪費了三個多小時

只需要用到兩個反演的式子
$$F(i)=\sum _{i|d}f(d)?f(i)=\sum _{i|d}\mu (\frac{d}{i})F(d)$$
$$gcd(S)=\sum _{?x\in S,d|x}\phi (d)$$

然后因為推導過程出來冗長以外沒有太多難的部分，所以推薦自己手推到不會的再翻題解。

然后就開始吧，因為$lcm(i,j)=\frac{ij}{gcd(i,j)}$所以問題可以化為兩個部分，求
$${\left(\prod _{i=1}^A\prod _{j=1}^B\prod _{k=1}^{C}ij\right)}^{f(type)},{\left(\prod _{i=1}^A\prod _{j=1}^B\prod _{k=1}^C\frac{1}{gcd(i,j)}\right)}^{f(type)}$$

首先是第一個式子$f(type)=1$。
第一部分就是
$$\prod _{i=1}^A{i}^{B\times C}\times \prod _{j=1}^B{j}^{A\times C}$$
這個十分簡單，我們預處理階乘就可以做到$O(\log P)$
然后第二部分考慮枚舉約數
$$\prod _{d=1}{\frac{1}{d}}^{C\times {\sum }_{i=1}^A{\sum }_{j=1}^B[gcd(i,j)=d]}$$
然后莫反
$$\prod _{d=1}{\frac{1}{d}}^{C{\sum }_{k=1}\mu (k)?\frac{A}{kd}??\frac{B}{kd}?}$$
顯然的我們可以$d,k$都可以整除分塊，預處理一下逆元的前綴乘積就可以快速計算區間逆元乘積了。

第一個式子時間復雜度$O(n^{\frac{3}{4}})$

然后第二個式子類似的，記$S(n)=\frac{n\times (n+1)}{2}$那么有
$$\prod _{i=1}^A{i}^{iS(B)S(C)}\times \prod _{j=1}^B{j}^{jS(A)(C)}$$
維護一個$i^i$的前綴積即可。
第二部分
$$\prod _{d=1}{\frac{1}{d}}^{S(C)\times {\sum }_{i=1}^A{\sum }_{j=1}^{B}ij[gcd(i,j)=d]}?\prod _{d=1}{\frac{1}{d}}^{S(C){\sum }_{k=1}\mu (k)S(?\frac{A}{kd}?)S(?\frac{B}{kd}?)}$$

需要提前處理$\mu (i)\times i^2$的前綴和，$i^2,\frac{1}{i^2}$的前綴積就好了

第二個式子時間復雜度$O(n^{\frac{3}{4}})$

主要的難點在第三個式子
首先第一部分先只考慮$i$
$$\prod _{i=1}^A\prod _{j=1}^B\prod _{k=1}^C{i}^{gcd(i,j)}$$
考慮歐拉反演，枚舉約數
$$\prod _{d=1}{?\prod _i^{?\frac{A}{d}?}i\times d?}^{\phi (d)?\frac{B}{d}??\frac{C}{d}?}$$
設$f_i={\prod }_{j=1}^{i}i$那么有
$$\prod _{d=1}{\left(f_{?\frac{A}{d}?}{d}^{?\frac{A}{d}?}\right)}^{\phi (d)?\frac{B}{d}??\frac{C}{d}?}$$
拆開來$f$和$d$的部分
$$\prod _{d=1}(f_{?\frac{A}{d}?}{)}^{\phi (d)?\frac{B}{d}??\frac{C}{d}?}\times d^{\phi (d)?\frac{A}{d}??\frac{B}{d}??\frac{C}{d}?}$$
預處理出$f$數組，和$g$數組$g_i={\prod }_{j=1}^i{j}^{\phi (j)}$，$\phi$的前綴和就可以整除分塊搞了

然后是第二部分
$$\prod _{i=1}^A\prod _{j=1}^B\prod _{k=1}^C{\frac{1}{gcd(i,j)}}^{gcd(i,j,k)}$$
你可以試一下枚舉$gcd(i,j)$，反正我推了好久都沒有對出來/kk
所以考慮枚舉$gcd(i,j,k)$的約數然后歐拉反演里面再莫反
$$\prod _{d=1}{\left(\prod _{k=1}{\frac{1}{dk}}^{{\sum }_{z=1}\mu (z)?\frac{A}{dkz}??\frac{B}{dkz}?}\right)}^{\phi (d)?\frac{C}{d}?}$$
然后把$\frac{1}{d}$和$\frac{1}{k}$分開處理
$$\prod _{d=1}{\left(\prod _{k=1}{\frac{1}{k}}^{{\sum }_{z=1}\mu (z)?\frac{A}{dkz}??\frac{B}{dkz}?}\right)}^{\phi (d)?\frac{C}{d}?}$$
$$\times \prod _{d=1}{\left(\frac{1}{d}\right)}^{\phi (d)?\frac{C}{d}?{\sum }_{k=1}{\sum }_{z=1}\mu (z)?\frac{A}{dkz}??\frac{B}{dkz}?}$$
（至于為什么要這么分開，會注意到第一個式子如果我們進行兩次整除分塊，那么對于每個$\frac{1}{dk}$就會有兩個影響它的指數$\phi (d)$和${\sum }_{z=1}\mu (z)?\frac{A}{dkz}??\frac{B}{dkz}?$所以很難處理，此時我們分開來就可以直接用區間的值來做了）

注意到這樣要做三次整除分塊，十分地慢，但是考慮后面那個式子${\sum }_{z=1}\mu (z)?\frac{A}{dkz}??\frac{B}{dkz}?$對于一個固定的$dk$是一個確定的值的，并且因為是整除分塊，所以不同的值不多我們可以考慮預處理這個東西，整除分塊一個$dk$然后里面再整除分塊計算就好了。

還有拆開后處理$\frac{1}{d}$的式子需要預處理${\frac{1}{d}}^{\phi (d)}$的前綴積。

然后就做完了，第三部分時間復雜度$O(n+n^{\frac{3}{4}}\log n)$

實際上其實最后的式子兩個部分可以約掉一些東西省一些常數，但是這樣做也能過但是得開int。

或者你可以用別的方法卡卡常反正我開int了。

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code

因為中途long long改int所以代碼巨丑

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> //#define int long long using namespace std; const int N=1e5+10; int T,P,Phi,A,B,C,ans,cnt;bool v[N]; int pri[N/10],mu[N],su[N],phi[N],f[N],g[N],h[N]; int inv[N],inc[N],inw[N],fac[N],gac[N],hac[N]; int power(int x,int b){int ans=1;b=(b%Phi+Phi)%Phi;while(b){if(b&1)ans=ans*1ll*x%P;x=x*1ll*x%P;b>>=1;}return ans; } int Sum(int n) {return n*1ll*(n+1)/2%Phi;} int Tum(int n) {return n*1ll*(n+1)*1ll*(2ll*1ll*n+1)/6ll%Phi;} void Prime(){mu[1]=phi[1]=1;for(int i=2;i<N;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;for(int j=1;j<=cnt&&i*1ll*pri[j]<N;j++){v[i*1ll*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0){phi[i*1ll*pri[j]]=phi[i]*1ll*pri[j];break;}mu[i*1ll*pri[j]]=-mu[i];phi[i*1ll*pri[j]]=phi[i]*1ll*(pri[j]-1);}}inc[1]=fac[0]=gac[0]=inw[0]=inv[0]=hac[0]=1;for(int i=2;i<N;i++)inc[i]=P-inc[P%i]*1ll*(P/i)%P;for(int i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*1ll*i%P;for(int i=1;i<N;i++)gac[i]=gac[i-1]*1ll*power(i,i)%P;for(int i=1;i<N;i++)hac[i]=hac[i-1]*1ll*power(i,i*1ll*i%Phi)%P;for(int i=1;i<N;i++)inw[i]=inw[i-1]*1ll*power(inc[i],i*1ll*i%Phi)%P;for(int i=1;i<N;i++)inv[i]=inv[i-1]*1ll*inc[i]%P;for(int i=1;i<N;i++)su[i]=su[i-1]+mu[i];g[0]=h[0]=1;for(int i=1;i<N;i++)g[i]=g[i-1]*1ll*power(inc[i],phi[i])%P;for(int i=1;i<N;i++)h[i]=h[i-1]*1ll*power(i,phi[i])%P;for(int i=1;i<N;i++)(phi[i]+=phi[i-1])%=Phi;return; } void qart1(int A,int B,int C){int n=min(A,B);for(int L=1,R;L<=n;L=R+1){R=min(A/(A/L),B/(B/L));int a=A/L,b=B/L,m=min(a,b),w=0;for(int l=1,r;l<=m;l=r+1){r=min(a/(a/l),b/(b/l));(w+=(su[r]-su[l-1])*(a/l)*1ll*(b/l)%Phi)%=Phi;}ans=ans*1ll*power(inv[R]*1ll*fac[L-1]%P,w*1ll*C%Phi)%P;}return; } void part1(){ans=power(fac[A],B*1ll*C%Phi)*1ll*power(fac[B],A*1ll*C%Phi)%P;qart1(A,B,C);qart1(A,C,B);printf("%d ",ans);return; } void qart2(int A,int B,int C){int n=min(A,B);for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=(f[i-1]+mu[i]*1ll*i*1ll*i%Phi)%Phi;for(int L=1,R;L<=n;L=R+1){R=min(A/(A/L),B/(B/L));int a=A/L,b=B/L,m=min(a,b),w=0;for(int l=1,r;l<=m;l=r+1){r=min(a/(a/l),b/(b/l));(w+=Sum(a/l)*1ll*Sum(b/l)%Phi*1ll*(f[r]-f[l-1])%Phi)%=Phi;}w=w*1ll*Sum(C)%Phi;ans=ans*1ll*power(inw[R]*1ll*hac[L-1]%P,w)%P;}return; } void part2(){ans=power(gac[A],Sum(B)*1ll*Sum(C)%Phi)*1ll*power(gac[B],Sum(A)*1ll*Sum(C)%Phi)%P;qart2(A,B,C);qart2(A,C,B);printf("%d ",ans);return; } void qart3(int A,int B,int C){int n=min(A,B);for(int L=1,R;L<=n;L=R+1){R=min(A/(A/L),B/(B/L));int a=A/L,b=B/L,m=min(a,b),w=0;for(int l=1,r;l<=m;l=r+1){r=min(a/(a/l),b/(b/l));(w+=1ll*(a/l)*(b/l)*(su[r]-su[l-1])%Phi)%=Phi;}for(int i=L;i<=R;i++)f[i]=w;}n=min(n,C);for(int L=1,R;L<=n;L=R+1){R=min(A/(A/L),min(B/(B/L),C/(C/L)));int a=A/L,b=B/L,c=C/L,m=min(a,b),w=0,s=1;for(int l=1,r;l<=m;l=r+1){r=min(a/(a/l),b/(b/l));(w+=1ll*f[l*1ll*L]*(r-l+1)%Phi)%=Phi; s=1ll*s*power(1ll*inv[r]*fac[l-1]%P,f[l*1ll*L])%P;}ans=ans*1ll*power(1ll*g[R]*power(g[L-1],P-2)%P,1ll*w*(C/L)%Phi)%P;ans=ans*1ll*power(s,1ll*(phi[R]-phi[L-1])*(C/L)%Phi)%P;} // for(int i=1;i<=A;i++) // for(int j=1;j<=B;j++) // for(int k=1;k<=C;k++) // ans=ans*1ll*power(inc[__gcd(i,j)],__gcd(__gcd(i,j),k))%P;return; } void part3(){ans=1;int n=min(A,min(B,C));for(int L=1,R;L<=n;L=R+1){R=min(A/(A/L),min(B/(B/L),C/(C/L)));int a=A/L,b=B/L,c=C/L; // b=fac[b]*1ll*power(Sum(R)-Sum(L-1),b)%P;ans=1ll*ans*power(fac[a],1ll*(phi[R]-phi[L-1])*b*c%Phi)%P;ans=1ll*ans*power(fac[b],1ll*(phi[R]-phi[L-1])*a*c%Phi)%P;ans=1ll*ans*power(h[R]*1ll*power(h[L-1],P-2)%P,2ll*a*b*c%Phi)%P;} // int k=ans;qart3(A,B,C);qart3(A,C,B); // else ans=1ll*ans*ans%P*power(k,P-2)%P;printf("%d ",ans);return; } signed main() {scanf("%d%d",&T,&P);Phi=P-1;Prime();while(T--){scanf("%d%d%d",&A,&B,&C); // A=B=C=1e5;part1();part2();part3();putchar('\n');}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P5518-[MtOI2019]幽灵乐团【莫比乌斯反演,欧拉反演】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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