正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2064

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題目大意

給出$n$個點的一棵樹，對于$k\in [1,n]$求出所有$k$個點的點集的構出的虛樹大小和。

$1\le n\le 2\times 10^5$

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解題思路

考慮每個點的貢獻，一個點被統計當且僅當存在兩個點在它所連接的不同聯通塊中，那么也就是如果所有選出的點都在它的同一個連通塊中那么這個點不會被統計貢獻。記為一個聯通塊大小為$m$，那么這個點的貢獻就是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)?\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)$。

不難發現所有節點連接的聯通塊數量只有$2n?2$個，統計$c_i$表示大小為$i$的子樹數量，那么答案
$$an{s}_k=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\times n?\sum _{i=k}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}\right)\times c_i$$
這個東西顯然可以寫成卷積形式，用$NTT$就好了。

時間復雜度：$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=1<<19,P=924844033; struct node{ll to,next; }a[N<<1]; ll n,tot,ls[N],siz[N],c[N],b[N],inv[N],fac[N],r[N]; void addl(ll x,ll y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return; } void dfs(ll x,ll fa){siz[x]=1;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa)continue;dfs(y,x);siz[x]+=siz[y];}if(n-siz[x])c[n-siz[x]]++,c[siz[x]]++;return; } ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } void NTT(ll *f,ll n,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=p>>1,tmp=power(5,(P-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=f[i+len]*buf%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll invn=power(n,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return; } signed main() {inv[0]=inv[1]=fac[0]=1;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;scanf("%lld",&n);for(ll i=1,x,y;i<n;i++){scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}dfs(1,0);ll m=1;while(m<=2*n+2)m<<=1;for(ll i=1;i<=n;i++)c[i]=c[i]*fac[i]%P;for(ll i=0;i<=n;i++)b[i]=inv[i];for(ll i=0;i<m;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);reverse(b,b+n+1);NTT(c,m,1);NTT(b,m,1);for(ll i=0;i<m;i++)c[i]=c[i]*b[i]%P;NTT(c,m,-1);for(ll i=1;i<=n;i++){ll w=fac[n]*inv[i]%P*inv[n-i]%P;w=w*n%P-c[n+i]%P*inv[i]%P;printf("%lld\n",(w+P)%P);}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的AT2064-[AGC005F]Many Easy Problems【NTT】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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