正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6242

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題目大意

給出一個長度為$n$的序列$a$，$m$次要求支持操作

區(qū)間加上一個值$k$

區(qū)間所有$a_i$變?yōu)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$min\{a_i,k\}$

區(qū)間求和

區(qū)間求最大值

區(qū)間求歷史最大值

$1\le n,q\le 5\times 10^5$

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解題思路

額讓我們來看看都有些什么操作，區(qū)間加權(quán)，區(qū)間取min…

欸好像到區(qū)間取min就不會了，這時候就要請出我們的吉司機線段樹了。

吉司機線段樹的原理大概就是一個節(jié)點處多維護一個與勢有關(guān)的值，這樣我們一次修改時就只需要以常數(shù)的代價減少線段樹的勢來達到均攤復(fù)雜度的效果。

先考慮這題的一個弱化版，要求支持

• 區(qū)間求和
• 區(qū)間求min
• 區(qū)間取min

此時我們可以將線段樹的勢視為一個區(qū)間的不同數(shù)個數(shù)，那么我們需要找到一種新的標記方法使得我們能夠減少一點勢能。

而對于區(qū)間取min，要求在標記改變一個數(shù)的情況下能維護區(qū)間和，顯然的區(qū)間取min第一個改變的肯定是最大值，所以此時我們就可以對于一個位置多維護三個值：區(qū)間最大值mx，區(qū)間最大值個數(shù)t，區(qū)間次大值se。

此時我們修改時如果取min的值$k$分為以下情況

• $k\ge mx$，此時不會對區(qū)間產(chǎn)生影響，勢能不變。
• $mx>k>se$，此時我們暴力修改$mx$和$t$，并以此修改$sum$，勢能不變。
• $k\ge se$，此時我們暴力遞歸左右兩邊修改，此時我們相當于多做了一次操作，但是$mx$變?yōu)榱?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$se$相等的值，勢能減一。

綜上，由于初始序列的勢能最大為$O(n)$，這樣的時間復(fù)雜度為$O(n\log n)$。

然后我們又多了一個操作

• 區(qū)間加上取值$k$

注意到這個操作最多會修改$\log n$個區(qū)間，而每個被修改的區(qū)間都會產(chǎn)生多一個勢能，時間復(fù)雜度就變?yōu)榱?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$O(n{\log }^{2}n)$，不是很優(yōu)秀，我們考慮更好的辦法。

我們考慮分裂最大值的標記和次大值的標記，也就是我們的標記不再是區(qū)間減去的值，我們分裂為兩個標記：區(qū)間最大值要減去的值lazyx，區(qū)間非最大值要減去的值lazy。

此時我們進行區(qū)間下傳的時候非最大值的子區(qū)間就順便處理了，如果兩邊都是最大值的子區(qū)間那么兩邊的勢能都會減1，所以時間復(fù)雜度依舊是：$O(n\log n)$

然后注意到這題還有一個難點

• 區(qū)間查詢歷史最大值

先考慮正常的線段樹是如何處理這種情況的，我們可以多維護兩個東西：歷史最大值b，上次更新后歷史最大標記lazyb，下傳時我們用$lazy$更新$lazyb$，再用$w+lazyb$更新$b$就好了。

那么同樣的我們在上面套一個類似吉司機線段樹的東西，維護兩種標記：上次更新后最大值的最大減少值lazyxb，上次更新后非最大值的最大減少值lazyb

然后用類似的方法維護就好了。

寫起來超級麻煩

時間復(fù)雜度：$O((m+n)\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=5e5+10,M=N<<2,inf=1e18; ll n,m,sum[M],mxa[M],mxb[M],se[M],t[M]; ll la[M],lax[M],lb[M],lbx[M]; void Merge(ll x,ll L,ll R){sum[x]=sum[x*2]+sum[x*2+1];mxa[x]=max(mxa[x*2],mxa[x*2+1]);mxb[x]=max(mxb[x*2],mxb[x*2+1]);if(mxa[x*2]==mxa[x*2+1]){t[x]=t[x*2]+t[x*2+1];se[x]=max(se[x*2],se[x*2+1]);}else if(mxa[x*2]<mxa[x*2+1]){t[x]=t[x*2+1];se[x]=max(mxa[x*2],se[x*2+1]);}else if(mxa[x*2]>mxa[x*2+1]){t[x]=t[x*2];se[x]=max(se[x*2],mxa[x*2+1]);}return; } void Updata(ll x,ll len,ll a,ll b,ll c,ll d){//a:非最大值加的值 b:最大值加的值 sum[x]+=a*(len-t[x])+b*t[x];mxb[x]=max(mxb[x],mxa[x]+d);lbx[x]=max(lbx[x],lax[x]+d);lb[x]=max(lb[x],la[x]+c);mxa[x]+=b;lax[x]+=b;la[x]+=a;if(se[x]!=-inf)se[x]+=a; } void Downdata(ll x,ll L,ll R){ll mid=(L+R)>>1,maxn=max(mxa[x*2],mxa[x*2+1]);if(mxa[x*2]==maxn)Updata(x*2,mid-L+1,la[x],lax[x],lb[x],lbx[x]);elseUpdata(x*2,mid-L+1,la[x],la[x],lb[x],lb[x]);if(mxa[x*2+1]==maxn)Updata(x*2+1,R-mid,la[x],lax[x],lb[x],lbx[x]);elseUpdata(x*2+1,R-mid,la[x],la[x],lb[x],lb[x]);la[x]=lax[x]=lb[x]=lbx[x]=0;return; } void ChangeAdd(ll x,ll L,ll R,ll l,ll r,ll val){if(L==l&&R==r){Updata(x,R-L+1,val,val,val,val);return;}ll mid=(L+R)>>1;Downdata(x,L,R);if(r<=mid)ChangeAdd(x*2,L,mid,l,r,val);else if(l>mid)ChangeAdd(x*2+1,mid+1,R,l,r,val);else ChangeAdd(x*2,L,mid,l,mid,val),ChangeAdd(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r,val);Merge(x,L,R);return; } void ChangeMin(ll x,ll L,ll R,ll l,ll r,ll val){ll mid=(L+R)>>1;if(val>=mxa[x])return;if(L==l&&R==r){if(val>se[x]){Updata(x,R-L+1,0,val-mxa[x],0,val-mxa[x]);return;}Downdata(x,L,R);ChangeMin(x*2,L,mid,l,mid,val);ChangeMin(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r,val);Merge(x,L,R);return;}Downdata(x,L,R);if(r<=mid)ChangeMin(x*2,L,mid,l,r,val);else if(l>mid)ChangeMin(x*2+1,mid+1,R,l,r,val);else ChangeMin(x*2,L,mid,l,mid,val),ChangeMin(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r,val);Merge(x,L,R); } ll AskSum(ll x,ll L,ll R,ll l,ll r){if(L==l&&R==r)return sum[x];ll mid=(L+R)>>1;Downdata(x,L,R);if(r<=mid)return AskSum(x*2,L,mid,l,r);if(l>mid)return AskSum(x*2+1,mid+1,R,l,r);return AskSum(x*2,L,mid,l,mid)+AskSum(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r); } ll AskMaxa(ll x,ll L,ll R,ll l,ll r){if(L==l&&R==r)return mxa[x];ll mid=(L+R)>>1;Downdata(x,L,R);if(r<=mid)return AskMaxa(x*2,L,mid,l,r);if(l>mid)return AskMaxa(x*2+1,mid+1,R,l,r);return max(AskMaxa(x*2,L,mid,l,mid),AskMaxa(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r)); } ll AskMaxb(ll x,ll L,ll R,ll l,ll r){if(L==l&&R==r)return mxb[x];ll mid=(L+R)>>1;Downdata(x,L,R);if(r<=mid)return AskMaxb(x*2,L,mid,l,r);if(l>mid)return AskMaxb(x*2+1,mid+1,R,l,r);return max(AskMaxb(x*2,L,mid,l,mid),AskMaxb(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r)); } void Build(ll x,ll L,ll R){if(L==R){ll w;scanf("%lld",&w);mxa[x]=mxb[x]=sum[x]=w;se[x]=-inf;t[x]=1;return;}ll mid=(L+R)>>1;Build(x*2,L,mid);Build(x*2+1,mid+1,R);Merge(x,L,R);return; } signed main() {scanf("%lld%lld",&n,&m);Build(1,1,n);while(m--){ll op,l,r,w;scanf("%lld%lld%lld",&op,&l,&r);if(op==1){scanf("%lld",&w);ChangeAdd(1,1,n,l,r,w);}if(op==2){scanf("%lld",&w);ChangeMin(1,1,n,l,r,w);}if(op==3)printf("%lld\n",AskSum(1,1,n,l,r));if(op==4)printf("%lld\n",AskMaxa(1,1,n,l,r));if(op==5)printf("%lld\n",AskMaxb(1,1,n,l,r));}return 0; } /* 5 6 1 2 3 4 5 2 1 5 3 3 1 5 */

總結(jié)

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