正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT4439

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題目大意

給出$1～n$的排列$a$。求一個字典序最小的$01$串$s$滿足將$0$對應位置按順序取出成為序列$A$，剩下的成為序列$B$。

要求$A$和$B$的前綴最大值個數相同。

$1\le n\le 2\times 10^5$

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解題思路

首先對于前綴最大值來說，在排列$a$中的前綴最大值肯定在$A/B$中也是前綴最大值。

而假設我們序列$A$和$B$中都存在一個前綴最大值是在$a$中沒有出現過的，那么顯然這兩個值前面比它大的值都在另一個序列中，所以我們交換這兩個值時$A/B$的前綴最大值個數都減少了$1$。

所以如果存在一組解$A/B$中存在一個序列的所有前綴最大值都是$a$中原來的最大值。

那么接著考慮，假設我們做到一個狀態：$A/B$中目前最大值個數為$n_a/n_b$，后面還有$c$個原來$a$序列中的最大值，$B$需要用$k$個，剩下$p$個都是新的最大值，那么如果有解就有等式
$$n_a+c?k=n_b+k+p?n_a?n_b+c=2k+p$$
而左邊的式子是定值，所以我們只需要考慮右邊式子的取值范圍。

然后對于序列$B$，目前最后一個數是$m_b$，設舊最大值數權為$2$，其他數的權值$1$。我們就需要考慮后面是否存在一個$m_b$開始的上升序列的權值和為$n_a?n_b+c$。

而因為權值只有$1$和$2$，所以我們用數據結構維護一下奇偶的最大答案即可。

由于他要求字典序最小，我們無法確定$A$是全是舊的最大值還是$B$全是舊的最大值，所以我們兩種情況都需要判斷。

時間復雜度：$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N=2e5+10; int n,s,a[N],od[N],ans[N],f[N][2]; struct SegTree{int w[N<<2];void Change(int x,int L,int R,int pos,int val){if(L==R){w[x]=val;return;}int mid=(L+R)>>1;if(pos<=mid)Change(x*2,L,mid,pos,val);else Change(x*2+1,mid+1,R,pos,val);w[x]=max(w[x*2],w[x*2+1]);}int Ask(int x,int L,int R,int l,int r){l=max(l,L);r=min(r,R);if(l>r)return w[0];if(L==l&&R==r)return w[x];int mid=(L+R)>>1;if(r<=mid)return Ask(x*2,L,mid,l,r);if(l>mid)return Ask(x*2+1,mid+1,R,l,r);return max(Ask(x*2,L,mid,l,mid),Ask(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r));} }T[2]; bool check(int p,int x){if(x<0)return 0;return T[x&1].Ask(1,1,n,p,n)>=x; } int main() {scanf("%d",&n);int maxs=0;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);if(a[i]>maxs)od[i]=1,s++,maxs=a[i]; }memset(T[1].w,0xcf,sizeof(T[1].w));for(int i=n;i>=1;i--){int p=!od[i];for(int j=0;j<2;j++){f[i][j]=T[j^p].Ask(1,1,n,a[i]+1,n)+1+od[i];T[j].Change(1,1,n,a[i],f[i][j]);}}int A=0,B=0,ma=0,mb=0;for(int i=1;i<=n;i++){s-=od[i];T[0].Change(1,1,n,a[i],T[0].w[0]);T[1].Change(1,1,n,a[i],T[1].w[0]);if(check(max(ma,a[i]),B+s-A-(a[i]>ma))||check(mb,A+s-B+(a[i]>ma)))ans[i]=0,A+=(a[i]>ma),ma=max(ma,a[i]);else ans[i]=1,B+=(a[i]>mb),mb=max(mb,a[i]);}if(A!=B)return puts("-1")&0;for(int i=1;i<=n;i++)putchar(ans[i]+'0');return 0; }

總結

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