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• 題目描述
• 解析
• 總結(jié)
• 代碼

題目描述

解析

簡(jiǎn)單來說，就是求：

g^{∑C(d,n)(d是n的約數(shù)）}mod 999911659

可以先特判一下，999911659|g時(shí)，答案為0
否則，可以通過歐拉定理轉(zhuǎn)化為：

g^{∑C(d,n)(d是n的約數(shù)）mod999911658} mod 999911659

取完模之后，指數(shù)已經(jīng)限制在了一個(gè)較小的范圍，如果求出其值，就可以用快速冪解決
現(xiàn)在考慮求這個(gè)指數(shù)：

∑C(d,n)(d是n的約數(shù)）mod999911658

面對(duì)這樣較大的組合數(shù)取模，容易想到用盧卡斯定理解決
但是問題在于本題的模數(shù)太大
所以我們考慮對(duì)這個(gè)模數(shù)進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解：

999911658=234679*35617

如果對(duì)這四個(gè)模數(shù)分別取模，就能把模數(shù)限制在一個(gè)可以接受的大小，并建立出4個(gè)同余方程
然后再利用中國(guó)剩余定理，解出這個(gè)指數(shù)即可

總結(jié)

本題的關(guān)鍵在于遇見大模數(shù)后進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解在進(jìn)行中國(guó)剩余定理的轉(zhuǎn)化

代碼

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; #define ll long long #define int long long const int N=3e5+100; const ll mod=999911658; const ll Mod=999911659; ll ksm(ll x,ll o){ll ans=1,res=x%Mod;while(o){if(o&1) ans=(ans*res)%Mod;res=(res*res)%Mod;o>>=1;}return ans%Mod; } ll n; ll g; ll m[5]={0,2,3,4679,35617},M[5],MM,t[5]; ll d[N],num; void divide(ll x){int top=floor(sqrt(x));d[++num]=1;for(int i=2;i<=top;i++){if(x%i==0){d[++num]=i;if(n/i!=i) d[++num]=n/i;}}d[++num]=x;return; } ll ni[5][N],jc[N]; ll a[5];ll C(int k,ll d,ll n){if(d>n) return 0;if(d==n) return 1;return (jc[n]*ni[k][d]*ni[k][n-d])%m[k]; } ll lucas(int k,ll d,ll n){if(d==n) return 1;if(d>n) return 0;return (C(k,d%m[k],n%m[k])%m[k])*lucas(k,d/m[k],n/m[k])%m[k]; } void gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(b==0){x=1;y=0;return;}gcd(b,a%b,x,y);int o=y;y=x-a/b*y;x=o;y%=mod;x%=mod; } signed main(){scanf("%lld%lld",&n,&g);if(g%Mod==0) {printf("0");return 0;}divide(n);jc[0]=jc[1]=1;for(int i=1;i<=4;i++) ni[i][0]=ni[i][1]=1;for(int i=2;i<=35167;i++){jc[i]=(jc[i-1]*i)%mod;for(int j=1;j<=4;j++) ni[j][i]=((m[j]-m[j]/i)*ni[j][m[j]%i])%m[j];}for(int i=2;i<=35167;i++) for(int j=1;j<=4;j++)ni[j][i]=(ni[j][i]*ni[j][i-1])%m[j];for(int i=1;i<=num;i++){for(int j=1;j<=4;j++){a[j]=(a[j]+lucas(j,d[i],n))%m[j];//printf("d=%lld mod=%lld ans=%lld\n",d[i],m[j],lucas(j,d[i],n)%m[j]);}}MM=mod;ll ans=0;for(int i=1;i<=4;i++){M[i]=MM/m[i];ll o;gcd(M[i],m[i],t[i],o);ans+=(t[i]*M[i]*a[i])%mod;ans%=mod;} // for(int j=1;j<=4;j++){ // printf("k=%d mod=%d:\n",j,m[j]){ // for(int i=1;i<=num;i++){ // printf // } // } // }ans%=MM;while(ans<0) ans+=MM;printf("%lld\n",ksm(g,ans)%Mod);return 0; } /* 4 5 1 5 2 7 3 4 2 */

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的洛谷P2480:古代猪文（中国剩余定理）（欧拉定理）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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