所謂拉格朗日插值，就是在“拉格朗日”進行的一項民俗活動。拉格朗日通常在每年2月的第82個星期三。

（逃）

前言

非常強大的算法。
當可以證明某個函數是一個 $k$ 次多項式時，我們就可以插入 $k+1$ 個函數值并快速的求出我們要求的函數值。

拉格朗日插值

情境：

對于一個 $n?1$ 次的多項式，若給出了 $n$ 個形如 $f(x_i)=y_y$ 的條件（$x_i$ 互不相同）,請你對于給出的 $k$，求出對應的函數值 $f(k)$。

首先，可以證明，這個函數是存在且唯一的。

我們寫出一個函數，形如：
$$f(x)=\sum _{i=1}^n{y}_i\prod _{j=i}\frac{x?x_j}{x_i?x_j}$$
對于第 $i$ 項，當 $x=x_j(j=i)$ 時，會得到0，$x=x_i$ 時，會得到 $y_i$。
所以，這個函數時滿足給出的 $n$ 個條件的，又由于這個東西顯然是 $n?1$ 次的，所以它就是我們要找的那個唯一確定的函數。
那么我們直接把 $k$ 往里代就好了，時間復雜度 $O(n^2)$

ll lagrange(int n,ll *x,ll *y,ll k){k%=mod;ll res(0);for(int i=1;i<=n;i++){ll s1=1,s2=1;for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j) continue;(s1*=(m-x[j]+mod))%=mod;(s2*=(mod+x[i]-x[j]))%=mod;}(res+=y[i]*s1%mod*ksm(s2,mod-2)%mod)%=mod;}return res; }

連續函數值的快速插值

很多時候，我們插入的 $n$ 個值可以是 $f(1),f(2),...,f(n)$。此時可以在 $O(n)$ 的復雜度內進行插值。
把原來的式子的 $x_i$ 全都換成 $i$，就變成：
$$f(x)=\sum _{i=1}^n{y}_i\prod _{j=i}\frac{x?j}{i?j}$$
這個東西就非常好看，我們隨便預處理出 一些前綴和和逆元就可以 $O(1)$ 求出 $\prod$ 里的結果。
總復雜度 $O(n)$

ll lagrange(int n,ll *y,ll k){//consecutivek%=mod;jc[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;ni[n]=ksm(jc[n],mod-2);for(int i=n-1;i>=0;i--) ni[i]=ni[i+1]*(i+1)%mod;pre[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) pre[i]=pre[i-1]*(k-i)%mod;suf[n+1]=1;for(int i=n;i>=1;i--) suf[i]=suf[i+1]*(k-i)%mod;ll res(0);for(int i=1;i<=n;i++){ll add=y[i]*pre[i-1]%mod*suf[i+1]%mod*ni[i-1]%mod*ni[n-i]%mod;if((n-i)&1) add=mod-add;(res+=add)%=mod;}return res; }

重心拉格朗日插值

有的時候我們需要動態的插點，每一次都 $O(n^2)$ 的重新計算是我們不能接受的。
看原式：
$$f(k)=\sum _{i=1}^{n+1}{y}_i\prod _{j=i}\frac{k?x_j}{x_i?x_j}$$
設：
$$g(k)=\prod _{i=1}^{n+1}(k?x_i)$$
$$t_i=\prod _{j=i}\frac{1}{x_i?x_j}$$
那么原式可以寫成：
$$f(k)=g(k)\sum _{i=1}^{n+1}\frac{y_i{t}_i}{k?x_i}$$
每次加入一個點時，暴力計算其重心 $t$ 并更新其他點的重心即可。
單次復雜度達到 $O(kn)$（$k$ 為求逆元復雜度）。

應用：對函數為多項式形式的證明和對多項式次數的求解

我們要用拉格朗日插值，前提當然得是這個東西得是一個多項式，并且得求出它的次數。（這也往往是拉格朗日插值的難點）

并不是所有的函數都是多項式的！ 比如，最簡單的正弦函數就是一個無窮項數的函數（它的零點有無窮個）

例題：calc
看這篇博客吧。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的模板：拉格朗日插值（多项式）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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