解析

純純的人類智慧題。

關鍵性質：$v$ 可以在計算 $f(u,G)$ 時產生貢獻，當且僅當 $G$ 中 $u,v$ 之間可以通過 $[v,n]$ 的點互相到達。
充分性較為顯然，編號更大的點不會比 $v$ 先刪去，所以必然在 $v$ 時刻依然存在。
必要性證明：假設 $v$ 時刻 $u\to v$ 的路徑上存在一個 $x\in [1,v)$，在 $x$ 時刻圖的聯通性不弱于 $v$ 時刻，因而必然也有 $u\to x$ 可達，且由于 $x\to v,v\to u$ 皆可達，也就有 $x\to u$ 可達，$x$ 應當被刪去，矛盾。

接下來的任務就是如何維護這個東西。

floyd

對于點編號屬于 $[v,n]$ 這樣的限制，不難想到 floyd。但是直接跑無法通過 $n=1000$。
然后拿大樣例試了試，發現寫成：

for(int k=n;k>=1;k--){for(int i=1;i<=k;i++){for(int j=i;j<=n;j++){k -> update(i,j)}}}

答案依然是對的，并且能跑過1000了。
然后就完事了。

我們當然要想一想為什么這樣是對的。
這么轉移必然出問題的就是兩邊的點編號均大于 $k$ 的情況。
如圖中的 $p,q$：
（高度表示點編號的相對大小）

那么我們現在就要證明：

若 $(x,y)$ 路徑上沒有經過 $[1,\min (x,y))$ 的點，就必然可以正確轉移。

假設枚舉到中轉點 $k$ 之前的路徑都符合這個性質。
對于當前枚舉的中轉點 $k$，注意到我們需要求出的合法路徑必然至少有一個端點是小于 $k$ 的。
那么就必然能在 $k$ 的某一側找到第一個編號小于 $k$ 的點 $x$，$k\to x$ 這段路徑使用 $(k,n]$ 的點中轉，不會出現現在 $p,q$ 這樣的窘境，所以 $f(k,x)$ 當前是對的。
那么 $x$ 就可以通過 $k$ 連接起另一側的 $p$ ，得到正確的 $f(p,x)$。
如果 $(u,p)$ 之間有 $k^{\prime }$ 這樣的點導致 $f(u,p)$ 不對怎么辦？把$(u,p)$ 最小的點 $k^{\prime }$ 當成 $p$ 的角色來考慮，剛才的證明就還是對的。

bfs

本題看題解，還有通過 bfs 求對每個 $v$ 考慮在每張圖中能對多少 $u$ 產生貢獻的方法來做的，每次 bfs 用到一條邊就直接刪去，從而保證復雜度為 $O(nm)$，也挺妙的。

代碼

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long #define ull unsigned long long #define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__) #define ok debug("OK\n") using namespace std;const int N=1050; const int M=2e5+100; const int inf=1e9; const int mod=19921228;inline ll read(){ll x(0),f(1);char c=getchar();while(!isdigit(c)) {if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)) {x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}return x*f; }int n,m; int f[N][N]; ll sum[M];signed main() { #ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("a.in","r",stdin);freopen("a.out","w",stdout); #endif//memset(f,0x3f,sizeof(f));n=read();m=read();for(int i=1;i<=m;i++){int x=read(),y=read();f[x][y]=i;}for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=m+1;for(int k=n;k>=1;k--){for(int i=k;i<=n;i++) sum[min(f[i][k],f[k][i])]++;for(int i=1;i<=k;i++){//if(!f[i][k]&&!f[k][i]) continue;for(int j=i;j<=n;j++){f[i][j]=max(f[i][j],min(f[i][k],f[k][j]));f[j][i]=max(f[j][i],min(f[j][k],f[k][i]));}}}for(int i=m;i>=1;i--) sum[i]+=sum[i+1];for(int i=1;i<=m+1;i++) printf("%lld ",sum[i]);return 0; } /* */

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P7516 [省选联考 2021 A/B 卷] 图函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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