所謂LGV引理，就是解決LGV問題的引理。

（逃）

前言

上聯：古有學完SAM學PAM；
下聯：今有學完Polya學LGV；
橫批：小清新。

常被用于有向圖不交路徑計數問題。（廢話）
這個東西是真的不太難。（至少這條引理本身，會不會相關有些題很難我不知道）

國賽考它是有考它的道理的，這個東西之前沒有見過是真的有可能推出來的。（我是指那些星星一樣的神仙們）
相比之下 Polya 恐怕就不太可能現推了。

解析

有一張帶權的 DAG。

定義一條路徑的權值為所有邊權的乘積 $w(P_i)={\prod }_{e\in P_i}w(e)$，一組路徑的權值為所有路徑權值加和 $w(P)={\sum }_{P_i\in P}w(P_i)$，兩個點之間的權值為 $f(i,j)={\sum }_{P_i:i\to j}w(P_i)$

給出 $n$ 個起點 $s_{1...n}$ 和 $n$ 個終點 $t_{1...n}$，定義兩兩配對形成的路徑為一組 $A\to B$ 的路徑 $S=(A\to B)$。這樣一組路徑中每個起點 $i$ 都對應一個終點 $\sigma (i)$，顯然 $\sigma$ 是一個 $1?n$ 的排列。
記 $S^c(A\to B)$ 為 $A\to B$ 的相交路徑集合，$S^u(A\to B)$ 為 $A\to B$ 的不交路徑集合，顯然有 $S^u(A\to B)+S^c(A\to B)=S(A\to B)$。

構造矩陣 $A_{i,j}=f(s_i,t_j)$，那么就有：
$$det(A)=\sum _{P\in S^u(A\to B)}\text{sign}(\sigma )\prod _{P_i\in P}w(P_i)$$
規定這么一大堆，引理內容就這一句話。

證明

證明極其小清新！
首先，由行列式的定義，有：
$$det(A)=\sum _{P\in S(A\to B)}\text{sign}(\sigma )\prod _{P_i\in P}w(P_i)$$
接下來只需要證明：
$$\sum _{P\in S^c(A\to B)}\text{sign}(\sigma )\prod _{P_i\in P}w(P_i)=0$$
我們只需要為每一條路徑找到一條雙射，使它們權值相同，符號相反即可。
也非常好構造，對于一組相交路徑，我們只需要找到最小的一對相交路徑 $(i,j)$，把它們后面的部分互換即可。
得到的新路徑按照這種方式也會映射會原路徑，所以這是一個雙射。
互換之后權值乘積不變，對應 $\sigma$ 相當于交換了 ${\sigma }_i,{\sigma }_j$，因此逆序對奇偶性改變，符號相反。
證畢。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的模板：LGV引理（线性代数）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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