篩積性函數的前綴和

• 常見積性函數
• 公式推導
• • 狄利克雷卷積
  • 杜教篩
  • 實現
  • 常見卷積
• 習題集
• • Sum
  • 神犇和蒟蒻
  • 簡單的數學題

常見積性函數

$\mu$

$\phi$

$d(n)$：$n$的約數個數

$\sigma (n)$：$n$的約數和

$?(n)$：單位元函數，$e(n)=[n=1]$ （完全積性）

$I(n)$：$I(n)=1$（完全積性）

$id(n)$：$id(n)=n$ （完全積性）

$$\sum _{d|n}\phi (d)=n$$$$\sum _{d|n}\mu (d)=[n=1]$$$$\sum _{d|n}\phi (d)\times d=\frac{n\times \phi (n)+[n=1]}{2}$$

---

公式推導

求$$\sum _{i=1}^{n}f(i)$$

---

狄利克雷卷積

定義兩個數論函數$f,g$的狄利克雷卷積為$h$
$$(f?g)(n)=h(n)?h(n)=\sum _{d|n}f(d)\times g(\frac{n}{d})=\sum _{d|n}g(d)\times f(\frac{n}{d})$$

如果 $f,g$ 是積性函數則 $h$ 函數也是一個積性函數。

證明：令 $n=x?y\wedge (x,y)=1$。
$$h(n)=\sum _{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})?h(xy)=\sum _{d_1|x,d_2|y}f(d_1{d}_2)g(\frac{x}{d_1}\frac{y}{d_2})=\sum _{d_1|x,d_2|y}f(d_1)f(d_2)g(\frac{x}{d_1})g(\frac{y}{d_2})$$$$=\sum _{d_1|x}f(d_1)g(\frac{x}{d_1})\sum _{d_2|y}f(d_2)g(\frac{y}{d_2})=h(x)h(y)$$

卷積滿足乘法交換/結合律/分配律 (這不是重點😓)

$f?g=g?f$
$(f?g)?h=f?(g?h)$
$(f+g)?h=f?h+g?h$

---

杜教篩

杜教篩是一種以低于線性篩時間復雜度篩積性函數前綴和的篩法。

將所求問題定義成函數，令$S(n)={\sum }_{i=1}^{n}f(i)$
先推${\sum }_{i=1}^{n}h(i)$
$$\sum _{i=1}^{n}h(i)$$$$=\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}g(d)\times f(\frac{i}{d})$$$$=\sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{i=1}^{?\frac{n}{d}?}f(i)$$$$=\sum _{d=1}^{n}g(d)S(?\frac{n}{d}?)$$
將$d=1$的一項單獨提出來$?$
$$=g(1)\times S(n)+\sum _{d=2}^{n}g(d)S(?\frac{n}{d}?)$$$$g(1)\times S(n)=\sum _{i=1}^{n}h(i)?\sum _{d=2}^{n}g(d)S(?\frac{n}{d}?)$$
一般套路情況下$g(1)=1$

時間復雜度是 $O(n^{\frac{2}{3}})$，大概就是 $S$ 函數可以記憶化遞歸，另外設定一個閥值 $M$ 預處理 $S(1～M)$ 內的信息。

當 $M$ 大約取 $n^{\frac{2}{3}}$ 最優，讓預處理和后面記憶化的時間復雜度差不多。

實現

因為$g,h$都是我們自己選擇構造出來的，通過上面化出的最后式子來看
我們希望$h(i)$的前綴和是好求的，換言之就是很快就能求出來的
然后按$S(?\frac{n}{d}?)$可以對后面式子進行分塊處理

至于怎么選擇$g$和$h$，說實話只能觀察式子，或者結合以前的做題經驗套路

常見卷積

Ⅰ$S(n)={\sum }_{i=1}^n\mu (i)$
因為知道在莫比烏斯反演有個關于莫比烏斯函數的公式
$$\sum _{d|n}\mu (d)=[n=1]$$
很容易想到$?=\mu ?I$
$$?(n)=\sum _{d|n}\mu (d)\times I(\frac{n}{d})=\sum _{d|n}\mu (d)=[n=1]$$
Ⅱ $s(n)={\sum }_{i=1}^n\phi (i)$
上述提到過一個公式
$$n=\sum _{d|n}\phi (d)$$
所以我們想到$id=\phi ?I$
$$id(n)=\sum _{d|n}\phi (d)\times I(\frac{n}{d})=\sum _{d|n}\phi (d)=n$$
Ⅲ $S(n)={\sum }_{i=1}^n\phi (i)\times i$
乍一看似乎配不出什么鳥玩意兒
嘗試從狄利克雷卷積入手
$$h=f?g=\sum _{d|n}f(d)\times g(\frac{n}{d})=\sum _{d|n}\phi (d)\times d\times g(\frac{n}{d})$$
我們想著如果能把$f$順帶的多余的$d$除掉，嘗試給$g$配成$id$
$$h=\sum _{d|n}\phi (d)\times d\times \frac{n}{d}=\sum _{d|n}\{\phi (d)\times n\}=n\sum _{d|n}\phi (d)=n^2$$
$i^2$的前綴和，欸好巧哦，由公式可以快速算出，所以成功配出來了$g,h$

$$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n\times (n+1)\times (2n+1)}{6}$$
$$\sum _{i=1}^n{i}^3=(\sum _{i=1}^{n}i{)}^2=[\frac{n\times (n+1)}{2}{]}^2=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$$

---

習題集

Sum

…

• solution
  前面提過了$id=\phi ?I,?=\mu ?I$，直接帶公式即可$id,?$就是$h$，$\phi ,\mu$就是$f$，$I$是$g$
  $$g(1)\times S(n)=\sum _{i=1}^{n}h(i)?\sum _{d=2}^{n}g(d)S(?\frac{n}{d}?)$$
• code

#include <cstdio> #include <map> using namespace std; #define maxn 2000000 #define int long long map < int, int > mp1, mp2; int cnt; bool vis[maxn + 5]; int phi[maxn + 5], mu[maxn + 5], prime[maxn]; int sum1[maxn + 5], sum2[maxn + 5];void init() {mu[1] = phi[1] = 1;for( int i = 2;i <= maxn;i ++ ) {if( ! vis[i] ) prime[++ cnt] = i, mu[i] = -1, phi[i] = i - 1;for( int j = 1;j <= cnt && 1ll * i * prime[j] <= maxn;j ++ ) {vis[i * prime[j]] = 1;if( i % prime[j] == 0 ) {mu[i * prime[j]] = 0;phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];break;}mu[i * prime[j]] = -mu[i];phi[i * prime[j]] = phi[i] * ( prime[j] - 1 );}}for( int i = 1;i <= maxn;i ++ ) sum1[i] = sum1[i - 1] + phi[i], sum2[i] = sum2[i - 1] + mu[i]; }int find_phi( int n ) {if( n <= maxn ) return sum1[n];if( mp1[n] ) return mp1[n];int ans = n * ( n + 1 ) / 2;int r;for( int i = 2;i <= n;i = r + 1 ) {r = n / ( n / i );ans -= ( r - i + 1 ) * find_phi( n / i );}return mp1[n] = ans; }int find_mu( int n ) {if( n <= maxn ) return sum2[n];if( mp2[n] ) return mp2[n];int ans = 1;int r;for( int i = 2;i <= n;i = r + 1 ) {r = n / ( n / i );ans -= ( r - i + 1 ) * find_mu( n / i );}return mp2[n] = ans; }signed main() {init();int T, n;scanf( "%lld", &T );while( T -- ) {scanf( "%lld", &n );printf( "%lld %lld\n", find_phi( n ), find_mu( n ) );}return 0; }

神犇和蒟蒻

…

• solution
  $A$很簡單，$i^2$的$\mu$一定是$0$，所以$A$一定是$1$
  考慮$B$，這里要用到歐拉函數的一個性質
  如果$i\%j=0$，則$\phi (i\times j)=\phi (i)\times j$
  所以$\phi (i^2)=\phi (i)\times i$，就神奇的轉化為了上面的應用公式三
• code

#include <cstdio> #include <map> using namespace std; #define int long long #define mod 1000000007 #define maxn 1000000 map < int, int > mp; int inv6, inv2, cnt; bool vis[maxn + 5]; int prime[maxn], sum[maxn + 5], phi[maxn + 5];void init() {phi[1] = 1;for( int i = 2;i <= maxn;i ++ ) {if( ! vis[i] ) prime[++ cnt] = i, phi[i] = i - 1;for( int j = 1;j <= cnt && i * prime[j] <= maxn;j ++ ) {vis[i * prime[j]] = 1;if( i % prime[j] == 0 ) {phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];break;}phi[i * prime[j]] = phi[i] * ( prime[j] - 1 );}}for( int i = 1;i <= maxn;i ++ )sum[i] = ( sum[i - 1] + i * phi[i] ) % mod; }int find_phi( int n ) {if( n <= maxn ) return sum[n];if( mp[n] ) return mp[n];int ans = n * ( n + 1 ) % mod * ( 2 * n + 1 ) % mod * inv6 % mod;for( int l = 2, r;l <= n;l = r + 1 ) {r = n / ( n / l );ans -= ( l + r ) * ( r - l + 1 ) % mod * find_phi( n / l ) % mod * inv2 % mod;if( ans < 0 ) ans += mod; }return mp[n] = ans; }int qkpow( int x, int y ) {int ans = 1;while( y ) {if( y & 1 ) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans; }signed main() {init();int n;inv2 = qkpow( 2, mod - 2 );inv6 = qkpow( 6, mod - 2 );scanf( "%lld", &n );printf( "1\n%lld\n", find_phi( n ) );return 0; }

簡單的數學題

…

• solution
  取模的操作代碼里加入就可以了，下面式子中就省略不寫了
  $$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}i\times j\times gcd(i,j)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}i\times j\sum _{d|i,d|j}\phi (d)=\sum _{d=1}^n\phi (d)\sum _{d|i}\sum _{d|j}ij$$
  $$=\sum _{d=1}^n\phi (d)\times d^2\sum _{i=1}^{?\frac{n}{d}?}i\sum _{j=1}^{?\frac{n}{d}?}j=\sum _{d=1}^n\phi (d)\times d^2(\sum _{i=1}^{?\frac{n}{d}?}i{)}^2$$
  前面杜教篩，后面數論分塊
  

• code

#include <cstdio> #include <map> using namespace std; #define int long long #define maxn 5000000 map < int, int > mp; int mod, cnt, inv; bool vis[maxn + 5]; int prime[maxn], sum[maxn + 5], phi[maxn + 5];void init() {phi[1] = 1;for( int i = 2;i <= maxn;i ++ ) {if( ! vis[i] ) prime[++ cnt] = i, phi[i] = i - 1;for( int j = 1;j <= cnt && i * prime[j] <= maxn;j ++ ) {vis[i * prime[j]] = 1;if( i % prime[j] == 0 ) {phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j] % mod;break;}elsephi[i * prime[j]] = phi[i] * ( prime[j] - 1 ) % mod;}}for( int i = 1;i <= maxn;i ++ )sum[i] = ( sum[i - 1] + phi[i] * i % mod * i % mod ) % mod; }int calc( int n ) {n %= mod;return n * ( n + 1 ) / 2 % mod; }int js( int n ) {n %= mod;return n * ( n + 1 ) % mod * ( 2 * n + 1 ) % mod * inv % mod; }int solve( int n ) {if( n <= maxn ) return sum[n];if( mp[n] ) return mp[n];int ans = calc( n ) * calc( n ) % mod, r;for( int i = 2;i <= n;i = r + 1 ) {r = n / ( n / i );ans = ( ans - ( js( r ) - js( i - 1 ) ) * solve( n / i ) ) % mod;}return mp[n] = ans; }int qkpow( int x, int y ) {int ans = 1;while( y ) {if( y & 1 ) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans; }signed main() {int n;scanf( "%lld %lld", &mod, &n );init();inv = qkpow( 6, mod - 2 );int r, ans = 0;for( int l = 1;l <= n;l = r + 1 ) {r = n / ( n / l );ans = ( ans + calc( n / l ) * calc( n / l ) % mod * ( solve( r ) - solve( l - 1 ) ) + mod ) % mod;}printf( "%lld", ( ans + mod ) % mod );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[学习笔记] 初次见面，请多关照 (公式推导+题集)——杜教筛的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。