文章目錄

• 定理
• • ①：類(lèi)歐幾里得算法
• 公式
• • ①：等比數(shù)列求和
  • ②：等差數(shù)列一次方和
  • ③：等差數(shù)列二次方和
• 結(jié)論
• • ①：$n\&1=1?3|(2^n?2)$
  • ②：$1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

定理

①：類(lèi)歐幾里得算法

求$$f(a,b,c,n)=\sum _{i=0}^n?\frac{a\times i+b}{c}?$$

分類(lèi)討論
①：$a\ge c||b\ge c$
$$\sum _{i=0}^n?\frac{a\times i+b}{c}?=\sum _{i=0}^n(?\frac{(a\%c)i+(b\%c)}{c}?+i?\frac{a}{c}?+?\frac{b}{c}?)$$
$$=f(a\%c,b\%c,c,n)+\frac{n\times (n+1)}{2}?\frac{a}{c}?+n?\frac{b}{c}?$$
②：$a<c\&\&b<c$

Ⅰ $a=0?f(a,b,c,n)=0$
Ⅱ $a=0$
$$\sum _{i=0}^n?\frac{a\times i+b}{c}?=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^{?\frac{a\times i+b}{c}??1}1$$$$=\sum _{j=0}^{?\frac{a?n+b}{c}??1}\sum _{i=0}^n[j<?\frac{a\times i+b}{c}?]$$$$=\sum _{j=0}^{?\frac{a?ni+b}{c}??1}\sum _{i=0}^n[j<?\frac{ai+b?c+1}{c}?]$$$$=\sum _{j=0}^{?\frac{a\times i+b}{c}??1}\sum _{i=0}^n[cj<ai+b?c+1]$$$$=\sum _{j=0}^{?\frac{a\times i+b}{c}??1}\sum _{i=0}^n[cj?b+c?1<ai]$$$$=\sum _{j=0}^{?\frac{a?n+b}{c}??1}\sum _{i=0}^n[?\frac{cj?b+c?1}{a}?<i]$$$$=\sum _{j=0}^{?\frac{a?n+b}{c}??1}n??\frac{cj?b+c?1}{a}?$$$$=n?\frac{a?i+b}{c}??f(c,?b+c?1,a,?\frac{a?n+b}{c}??1)$$
又套用①情況求解

公式

①：等比數(shù)列求和

$$\sum _{k=1}^n{x}^k=\frac{x?x^{n+1}}{1?x}$$

令$S_n={\sum }_{k=1}^n{x}^k$
$$x\times S_n=x\sum _{k=1}^n{x}^k=\sum _{k=2}^{n+1}{x}^k$$
兩式相減即可
$$S_n?x\times S_n=x^1?x^{n+1}$$$$S_n=\frac{x?x^{n+1}}{1?x}$$

②：等差數(shù)列一次方和

首項(xiàng)為$a$，公差為$d$，求前$n$項(xiàng)等差數(shù)的和
$$\sum _{i=1}^n(a+(i?1)d)$$

$$\underset{n}{a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(n?1)d)}=a?n+\underset{n?1}{d+2d+...(n?1)d}$$
$$=a?n+(1+2+...+n?1)d=a?n+\frac{n(n?1)}{2}d$$

③：等差數(shù)列二次方和

首項(xiàng)為$a$，公差為$d$，求前$n$項(xiàng)等差數(shù)的平方的和
$$\sum _{i=1}^n(a+(i?1)d{)}^2$$

$$\underset{n}{a^2+(a+d{)}^2+(a+2d{)}^2+...+(a+(n?1)d{)}^2}$$
$$=\underset{n}{a^2+(a^2+2ad+1^2{d}^2)+(a^2+4ad+2^2{d}^2)+...+(a^2+2(n?1)ad+(n?1{)}^2{d}^2)}$$
$$=a^{2}n+\underset{n?1}{(2ad+4ad+...+2(n?1)ad)}+\underset{n?1}{(1^2+2^2+...+(n?1{)}^2)d^2}$$
$$=a^{2}n+(1+2+...+(n?1))2ad+\frac{(n?1)n(2n?1)}{6}{d}^2$$
$$=a^{2}n+n(n?1)ad+\frac{(n?1)n(2n?1)}{6}{d}^2$$

結(jié)論

①：$n\&1=1?3|(2^n?2)$

如果$n$為奇數(shù)，有$2^n?2$則為$3$的倍數(shù)

將減法轉(zhuǎn)化為加法，如果$2^n+1=3k$成立，那么結(jié)論成立，現(xiàn)在來(lái)證明“如果”
分享兩種方法

法1
設(shè)$n=2m+1$
$$2^n+1=2^{2m+1}+1=(2^{2m+1}?2^{2m?1})+(2^{2m?1}?2^{2m?3})+...+(2^3?2^1)+(2?1)$$
每個(gè)括號(hào)里面的數(shù)都是$3$的倍數(shù)，得證

• 簡(jiǎn)單舉例第一個(gè)括號(hào)
  $$2^{2m+1}?2^{2m?1}=2^{2m?1}?(2^2?1)=2^{2m?1}?3$$

法2：數(shù)學(xué)歸納法
當(dāng)$n=1$時(shí)，有$2^n+1=3$，滿足條件
當(dāng)$n=k$時(shí)，$k$為奇，假設(shè)有$2^k+1=3t$
當(dāng)$n=k+2$時(shí)，則有$2^n+1=2^{k+2}+1=4?2^k+1=4?(3t?1)+1=12t?3=3?(4t?1)$
證畢

②：$1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

有$(n+1{)}^3=n^3+3n^2+3n+1$
$$?\begin{array}{l}{2}^3=1^3+3?1^2+3?1+1\\ 3^3=2^3+3?2^2+3?2+1\\ ...\\ n^3=(n?1{)}^3+3?(n?1{)}^2+3(n?1)+1\\ (n+1{)}^3=n^3+3?n^2+3?n+1\end{array}$$
等式左右兩邊$n$項(xiàng)全加起來(lái)
$$(n+1{)}^3=1^3+3?(1^2+2^2+...+n^2)+3?(1+2+...+n)+\underset{n}{1+1+...+1}$$
$$?(1^2+2^2+...+n^2)=\frac{(n+1{)}^3?1^3?3?(1+2+...+n)?\underset{n}{1+1+...+1}}{3}$$
$$?(1^2+2^2+...+n^2)=\frac{n^3+3?n^2+3?n+1?1?3?\frac{n(n+1)}{2}?n}{3}$$
$$?(1^2+2^2+...+n^2)=\frac{2n^3+6n^2+6n+2?2?3n^2?3n?2n}{6}$$
$$?(1^2+2^2+...+n^2)=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}=\frac{n(2n^2+3n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的一些数学小公式/定理的证明的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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