萬豬拱塔

• description
• solution
• code

description

題目描述
小七養了很多頭豬，它們分布在 n 行 m 列中，其中第 i 行第 j 列的豬圈養的是第 $w_{i,j}$ 種豬。
小七有時會選擇一個子矩形范圍內的豬圈進行巡視，如果該子矩形包含 i 行 j 列 (1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ m)，且子矩形內含有的豬種類編號最大值減去編號最小值恰好為 i × j - 1 ，則小七會獲得 i × j 的愉悅值。
小七想知道，如果他將每個可能的子矩形都巡視一次，總共能獲得多少愉悅值呢？你只需要輸出答案對 998244353 取模的結果。

輸入格式
輸入文件 pig.in 包含 1 + n × m 行。
第一行輸入兩個正整數依次表示 n; m 。
接下來 n 行每行包含 m 個正整數，其中第 i 行的第 j 個正整數表示 wi;j 。

輸出格式
輸出文件 pig.out 包含一行，僅一個非負整數，表示答案對 998244353 取模
的結果。
樣例輸入

2 2 1 3 2 4

樣例輸出

12

樣例解釋
合法子矩形面積為 1 的有 4 個，面積為 2 的有 2 個，面積為 4 的有 1 個。
數據范圍及約定

測試點編號n × m特殊性質

1 ～ 2	≤ 50	無
3 ～ 6	≤ 10^4	無
7 ～ 12	≤ 2 × 10^5	n = 1
13 ～ 20	≤ 2 × 10^5	無

對于 100% 的數據, 1 ≤ wi;j ≤ n × m ≤ 2 × 105 , 保證 wi;j 互不相同。

solution

先吐槽一下題目的 包含 真的是誤導新青年！！

我以為是原矩陣的$i$行$j$列，結果是選的矩陣重新編號后的$i$行$j$列

實際上就是問多少矩陣內種類編號的極差等于矩陣行數乘列數再減一

---

應該不會有人只拿case 1~2的暴力吧

case 1~6 ：枚舉所選矩陣的左上角，求出以其右下方每一個點為矩陣右下角的種類最大值和最小值，可以通過掃一遍，然后行加一的時候繼承上面一行信息，再操作

case 7~12 ：n=1是一個一維問題，可以用線段樹和單調棧解決

具體而言，枚舉矩陣右端點$r$，如果區間$[l,r]$合法，則滿足${\text{Max}}_{l,r}?{\text{?Min}}_{l,r}=r?l+1$

對于每個$l$的定義$f[l]={\text{Max}}_{l,r}?{\text{?Min}}_{l,r}+l$，用線段樹維護$f[l]$

因為種類互不相同，所以${?}_{l}f[l]\ge r+1$，只需要線段樹維護$f[l]$的最小值，最小值個數，以及所有$l$之和，就可以統計了，即$(r+1)?cnt?sum$

右端點移動$1$，用單調棧維護其影響的${\text{Max}}_{l,r},{\text{Min}}_{l,r}$，在線段樹上修改

${\text{Max}}_{l,r}$維護一個單調遞減棧，${\text{Min}}_{l,r}$維護一個單調遞增棧

case 13~20 ：很不幸，一維的做法并不能處理二維情況

考慮另外一種nb的轉化

考慮判定 權值 為$[l,r]$區間的點是否構成了一個矩陣，記這些格子的顏色為黑色，其余均為白色

將$n\times m$的豬圈算上周圍一圈的空白邊界，看成$(n+1)\times (m+1)$的豬圈

產生$(n+1)\times (m+1)$個$2\times 2$的小正方形豬圈（不能超出邊界），標記在$2\times 2$這個矩陣的左上角

如果所有黑色格子能圍成一個矩陣，當且僅當恰好有4個小豬圈只有1個黑點，沒有任何一個小豬圈有3個黑點

不要急，仔細想想這句很妙的話，小豬圈是由其左上角表示的，只有圍成的矩陣的四個頂點所在的小豬圈，只含這個頂點一個黑點

從小到大枚舉權值$r$，定義$F[l]$為染黑權值為$[l,r]$的格子，其余格子為白色，小豬圈內有$1/3$個合格子的小豬圈數量

顯然$F[r]=4,F[l]\ge 4$

這個時候可以利用一維的做法，線段樹維護$F[l]$的最小值，最小值個數以及這些$l$的和，貢獻計算也是一樣的

當$r$增加$1$的時候，只會影響$4$個$2\times 2$的矩陣（分別是$r+1$做左上角，右上角，左下角，右下角時的不同的$4$個小豬圈）

暴力修改即可——詳見代碼

最后就是這道題的天坑——卡常

必須開Ofast不然分竟然跟暴力差不多，快讀快輸，還有這種$n\times m\le 2e5$的必須卡著矩陣長相開數組的

這是什么jian題 好題，真的是好題！！

code

#pragma GCC optimize( "Ofast" ) #include <cstdio> #define mod 998244353 #define maxn 200005 int Min[maxn << 2], cnt[maxn << 2], tag[maxn << 2]; long long sum[maxn << 2]; int ID[maxn]; int n, m, **w;#define Make( arr ) do { \arr = new int*[n + 3]; \for( int i = 0;i <= n + 2;i ++ ) arr[i] = new int[m + 3](); \ } while( false )inline void read( int &x ) {x = 0; char s = getchar();while( s < '0' or s > '9' ) s = getchar();while( '0' <= s and s <= '9' ) {x = ( x << 1 ) + ( x << 3 ) + ( s ^ 48 );s = getchar();} }inline void write( int x ) {if( x >= 10 ) write( x / 10 );putchar( x % 10 ^ 48 ); }#define lson num << 1 #define rson num << 1 | 1 #define inf 0x3f3f3f3fint chkmin( int x, int y ) { return x < y ? x : y; }inline void pushup( int num ) {Min[num] = chkmin( Min[lson], Min[rson] );cnt[num] = sum[num] = 0;if( Min[num] == Min[lson] ) cnt[num] += cnt[lson], sum[num] += sum[lson];if( Min[num] == Min[rson] ) cnt[num] += cnt[rson], sum[num] += sum[rson]; }inline void build( int num, int l, int r ) {if( l == r ) { Min[num] = inf, cnt[num] = 1, sum[num] = l; return; }int mid = ( l + r ) >> 1;build( lson, l, mid );build( rson, mid + 1, r );pushup( num ); }inline void pushdown( int num ) {if( ! tag[num] ) return;Min[lson] += tag[num];tag[lson] += tag[num];Min[rson] += tag[num];tag[rson] += tag[num];tag[num] = 0; }inline void modify( int num, int l, int r, int L, int R, int val ) {if( r < L or R < l ) return;if( L <= l and r <= R ) { Min[num] += val, tag[num] += val; return; }pushdown( num );int mid = ( l + r ) >> 1;modify( lson, l, mid, L, R, val );modify( rson, mid + 1, r, L, R, val );pushup( num ); }inline void modify( int r, int c, int Max, int opt ) {static int arr[4];if( ! ~opt ) {arr[0] = w[r][c], arr[1] = w[r][c + 1], arr[2] = w[r + 1][c], arr[3] = w[r + 1][c + 1];for( int i = 0;i < 3;i ++ )for( int j = 0;j < 3;j ++ )if( arr[j] > arr[j + 1] ) arr[j] ^= arr[j + 1] ^= arr[j] ^= arr[j + 1];}int ip = 0;for(;ip < 4 and arr[ip] <= Max;ip ++ );if( ip == 1 or ( ip > 1 and arr[ip - 1] ^ arr[ip - 2] ) )modify( 1, 1, n * m, ip == 1 ? 1 : arr[ip - 2] + 1, arr[ip - 1], opt );if( ip == 3 or ( ip > 3 and arr[ip - 3] ^ arr[ip - 4] ) )modify( 1, 1, n * m, ip == 3 ? 1 : arr[ip - 4] + 1, arr[ip - 3], opt ); }inline int mul( int x, int y ) { return 1ll * x * y % mod; } inline int sub( int x, int y ) { return x - y < 0 ? x - y + mod : x - y; } inline int add( int x, int y ) { return 1ll * x + y >= mod ? 1ll * x + y - mod : x + y; }int main() {freopen( "pig.in", "r", stdin );freopen( "pig.out", "w", stdout );scanf( "%d %d", &n, &m ); Make( w );for( int i = 0;i <= n + 1;i ++ ) w[i][0] = w[i][m + 1] = n * m + 1;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) w[0][i] = w[n + 1][0] = n * m + 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ )for( int j = 1;j <= m;j ++ )read( w[i][j] ), ID[w[i][j]] = ( i - 1 ) * m + j;build( 1, 1, n * m );int ans = 0;for( int i = 1;i <= n * m;i ++ ) {int r = ( ID[i] - 1 ) / m + 1, c = ID[i] - ( r - 1 ) * m;modify( 1, 1, n * m, i, i, -inf );for( int j = -1;j <= 0;j ++ )for( int k = -1;k <= 0;k ++ ) {modify( r + j, c + k, i - 1, -1 );modify( r + j, c + k, i, 1 );}if( Min[1] == 4 ) ans = add( ans, sub( mul( i + 1, cnt[1] ), sum[1] % mod ) );}write( ans );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[2020-09-11 CQBZ/HSZX多校联测 T3] 万猪拱塔（线段树+巧妙转化）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。