信息競賽——概率與期望

• 事件
• • 事件的蘊含、包含
  • 事件的互斥
  • 事件的對立
  • 事件的和（并）
  • 事件的積（交）
  • 事件的差
• 概率
• • 事件的獨立性
  • 全概率公式
  • 貝葉斯公式
  • 概率DP（競賽中的考察）
• 期望（競賽中的考察）

前言，溫馨提醒

你得明白自己是信息競賽選手，而非數學競賽選手。

并非是專業性的正確性的講解，因為網上不缺權威專家的授課。

作為一名普通高中蒟蒻，對我而言，能夠運用做信息競賽題就足夠了。

所以如果不太精準的表述還請見諒，對于完全錯誤的地方歡迎指出，歡迎大家交流競賽中的概率期望套路。

這樣的形式【這樣的形式】是蒟蒻自己的看法，僅供參考。

跨越知識鏈邏輯的超前學習本就會漏洞百出，還請理性看待。

事件

概率論中研究的“事件”，有這樣三層含義：

• 有一個明確界定的試驗（或觀察）
• 這個試驗的全部可能結果，是在試驗前就明確的
• 有一個明確的陳述，界定了試驗的全部可能結果中一確定的部分。這個陳述，或者說一確定的部分，就叫做一個事件。

全部結果即最后的所有情況可能集合，事件指的是其中某一種符合給定要求的情況集合

我個人更喜歡將事件理解為是篩選的條件/要求/限制，從所有可能結果/情況中選出所有符合這個條件的結果/情況

i.e. 擲骰子，全部結果就是骰子朝上點數的所有情況 $\{1,2,3,4,5,6\}$，隨便一種有特性限制的事件，比如點數為奇數，情況就是 $\{1,3,5\}$。

事件的蘊含、包含

事件 $A$ 和事件 $B$，當 $A$ 發生的時候 $B$ 一定發生，則稱 $A$ 蘊含 $B$ 或 $B$ 包含 $A$，記為 $A?B$。

形象來看：

$A$ 發生 $B$ 必然發生，所以 $A$ 的所有情況是被 $B$ 所有情況包含的。

若二者相互蘊含，即 $A?B,B?A$ ，則稱兩事件相等，即 $A=B$。

用“事件是實驗的一些結果”觀點來看，可以理解為符合 $A$ 條件的實驗結果必在符合 $B$ 條件的實驗結果中，$A$ 的條件更為苛刻，相比與 $B$ 而言，更難發生，所以概率就不會超過 $B$ 發生的概率。

事件的互斥

若 $A,B$ 兩個事件不能同時發生（可以都不發生），則稱他們是互斥的。

形象地看：

數學化的理解就是兩個集合的交集為空

如果多個事件中任意兩個事件都互斥，則稱這些事件是兩兩互斥的，簡稱互斥的。

構成這兩個事件的結果情況/實驗結果是不會有交集的

i.e. 擲骰子的點數為 $3$ 和擲骰子的點數為 $2$ 的倍數這兩個事件就是互斥的，因為不能同時發生。

事件的對立

事件 $A$ 的對立事件 $B=\{A$ 不發生 $\}$，也記為 $\bar{A}$。

用事件的限制篩選出了符合的情況后，剩余的情況就是這個事件的對立事件集合

形象地看：

紅色區域是 $A$ 事件，黃色區域就是其對立事件 $B$。

i.e. 擲骰子點數為奇數為事件 $A$，則 $A=\{2,4,6\},\bar{A}=\{1,3,5\}$。

事件的和（并）

事件 $A,B$ 的和為事件 $C=\{A$ 發生或 $B$ 發生 $\}$，即 $A,B$ 至少發生一個。記為 $C=A+B$。

形象地看：

$A$ 藍點，$B$ 黃圈，$C$ 紅線。

數學上的理解為兩個圖形面積的并集

所以兩個事件至少發生其中之一的概率并不是簡單的概率相加。

i.e. 擲骰子，點數為偶數事件 $A$，點數為質數事件 $B$。

則 $A=\{2,4,6\},B=\{2,3,5\}?C=\{2,3,4,5,6\}$。

加法定理：兩兩互斥的事件之和的概率等于各事件的概率之和。事件個數可以有限可以無限。

$P(A_1+A_2+...)=P(A_1)+P(A_2)+...$

形象地看：

每個事件都是單獨的完整的不與其他事件相重合的顏色區域，所有顏色區域就是這些互斥事件的和。

數學化的理解就是所有圖形面積的并

i.e. 擲骰子，點數為 $1$ 事件 $A_1$，點數為 $2$ 事件 $A_2$，點數為 $3$ 事件 $A_3$，三個事件和為 $B$

則 $P(B=\{1,2,3\})=P(A_1=\{1\})+P(A_2=\{2\})+P(A_3=\{3\})=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$

推論：$P(\bar{A})=1?P(A)$

在競賽中，有可能 $P(A)$ 并不好求，反而是 $P(\bar{A})$ 好求。

事件的積（交）

事件 $A,B$ 的積為事件 $C=\{A,B$ 同時發生 $\}$，記為 $C=AB$。

如果兩事件互斥，等于是在說 $AB$ 為不可能事件，即不能同時發生。

形象地看：

$A$ 藍點，$B$ 黃圈，$C$ 紅線。

數學上的理解為兩個圖形面積的交集

i.e. 擲出點數為奇數事件 $A$，點數為偶數事件 $B$。

則兩事件積 $C=AB=?$。因為不可能一個點數又是奇數又是偶數。

事件的差

兩個事件 $A,B$ 的差，記為 $A?B$，定義為 $A?B=\{A$ 發生，$B$ 不發生 $\}$。

形象地看：

$A?B$ 紅色區域。

從所有符合A限制的情況中剔除掉同時符合B情況的

顯然，$A?B=A\bar{B}$

$A,\bar{B}$ 都發生，相當于在說 $A$ 發生，$B$ 不發生。

由此可見，差可以通過積去定義。

概率

概率可以理解為：一個事件的情況總數占所有情況總數的比例，前提是每個情況都是等權位的，不存在誰優誰劣

定義：兩個條件 $A,B,P(B)=0$，則 $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$。

意思是，在給定條件 $B$ 情況下 $A$ 條件發生的概率。

條件概率就是這個條件發生的概率，當然是有相對參照物的，競賽中一般都是以全局所有情況為參照空間的，無條件限制

概率 $P(A\cap B)$，即 $A$ 和 $B$ 同時發生的概率。

也就是說，條件概率 $P(A|B)$ 表示當確定 $B$ 發生時，樣本空間不再是 $\Omega$【全局樣本空間】，而是縮小成 $B$。我們需要計算在樣本空間為 $B$ 時，事件 $A\cap B$ 發生的概率。

我們在 $B$ 樣本空間中尋找 $A$ 發生的概率。從上面的圖中看，就是 $A\cap B$ 的面積(概率測度)，除以 $B$ 占據的面積(概率測度)，也就是我們條件概率的定義。

而定義式中的 $P(A\cap B),P(A),P(B)$ 等都是以 $\Omega$ 為樣本空間的。

【以上都是數學規范化的廢話，壓根沒有必要知道那么精確的定義，自己有個大致感覺就行了】

事件的獨立性

兩事件 $A,B$，$A$ 的無條件概率 $P(A)$ 和給定 $B$ 之下的條件概率 $P(A|B)$，一般是不同的，這反應了兩個事件之間的關聯。

若 $P(A|B)>P(A)$，則 $B$ 的發生使得 $A$ 的發生可能性增大【盡管一個的參照是 $B$ 的樣本空間，一個參照是全局樣本空間】，即 $B$ 的發生促進了 $A$ 的發生。

形象地看：

圓內區域表示符合這個事件的情況集合。

除了左圖是促進作用，其余兩張都是抑制作用，右圖更是杜絕這種可能，注意此時是兩個事件隸屬于同一個實驗。

若 $P(A|B)=P(A)$，則 $B$ 的發生與否對 $A$ 發生的可能性毫無影響，這在概率論上稱為 $A,B$ 兩事件獨立。

定理：兩獨立事件的積概率等于其各自概率的積，即 $P(AB)=P(A)P(B)$

i.e. 同時拋硬幣和擲骰子，點數為 $1$ 事件 $A$ ，硬幣正面朝上事件 $B$。顯然兩者不會相互干擾。

形象地看：上面最右邊的圖兩個就是。 因為這個時候兩個事件所屬的實驗都不一樣了。

一般【一般！】都是兩個實驗結果彼此不影響才會有獨立事件。

乘法定理：若干個獨立事件 $A_1,...,A_n$ 之積的概率，等于各概率之積。

即 $P(A_1{A}_2...A_n)=P(A_1)P(A_2)...P(A_n)$

條件：相加是互斥，相乘是獨立

推論1：獨立事件的任意部分都獨立。

i.e. 事件 $A,B,C,D$ 相互獨立，則 $A,B,C$ 也獨立。

推論2：若一系列事件相互獨立，則將其中一部分事件改為對立事件，仍是相互獨立的。

如果一系列事件任意兩個都獨立，則稱它們兩兩獨立。

定理：相互獨立必然推出兩兩獨立，反過來不一定對。

i.e.：有四個一樣的球，分別寫上數字 $1,2,3$，第四個球上三個數字都寫了。

定義事件 $A_i:\{$ 等概率抽一個球，上面有數字 $i\}$ 。

則 $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\frac{1}{2},P(A_1{A}_2)=P(A_1{A}_3)=P(A_2,A_3)=\frac{1}{4}$。

對于任意事件 $A_i,A_j$ 都有 $P(A_i{A}_j)=P(A_i)P(A_j)$，所以 $A_1,A_2,A_3$ 兩兩獨立。

但不相互獨立，因為 $P(A_1)P(A_2)P(A_3)=\frac{1}{8}=P(A_1{A}_2{A}_3)=\frac{1}{4}$。

【因為原樣本空間都不是等權位的，三個球只有一個數字，一個球有三個數字】

【這里只是寫到了，順便寫了，在競賽中是不會有這種數學的，所以看不看得懂并不重要】

接下來的東西，就經常在競賽中使用了

全概率公式

設 $B_1,B_2,...$ 為有限或無限個事件，兩兩互斥且每次實驗中至少發生一個。

即 $B_i{B}_j=?(i=j),B_1+B_2+...=\Omega$ （必然事件）

有時把具有這些性質的一組事件稱為一個“完備事件群”。

顯然，事件和其對應事件是一個“完備事件群”。

現在考慮任一事件 $A$，有 $A=A\Omega =A{B}_1+A{B}_2+...$，因為 $B_1...$ 兩兩互質，所以 $A{B}_1,...$ 也兩兩互質。

加法定理有，$P(A)=P(A{B}_1)+P(A{B}_2)+...$

由條件概率定義得，$P(A{B}_i)=P(B_i)P(A|B_i)?P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+...$

最后的式子即為全概率公式。

“全部”概率 $P(A)$ 被分解成多個部分的和。

一般在競賽中，從另一個角度考察這個式子。把Bi當作導致A發生的一種可能途徑。對不同途徑，A發生的概率即條件概率P(A|B)各各不同，而采取哪個途徑也是隨機的。類似于加權平均的感覺。遞推求解類？？

【比如，不同班級的升學率不同，學校總升學率是各班升學率的加權平均，其權和班級人數成比例】

貝葉斯公式

$$P(A?B)=P(A)?P(B|A)=P(B)?P(A|B)?P(A|B)=\frac{P(B|A)?P(A)}{P(B)}$$

概率DP（競賽中的考察）

概率相較于期望而言，更容易讓人接受和理解。

一般都是順著推就可以了，比如 $d{p}_{i,j}:$ 從起始位置走到 $(i,j)$ 位置的概率，每走一步都有不同的概率，直接概率相乘轉移。

初始化，往往是起始點設為必然事件，概率為 $1$。

輸出最終狀態即可。

比較簡單，一般是題目怎么說就怎么翻譯，直接轉移，至于優化就是另一回事了。

較難的有，對于一個狀態 $s$，可能是由若干個狀態 $t_i$ 都可以轉移過來的，這中間可能還包括自己。

比如有百分之多少的概率會原地不動。總之，反正你可以列出一個等式。

然后將 $s$ 參與的項放在等式左邊，其余的放右邊，然后把 $s$ 狀態的結果當成未知數來計算，將前面的系數也扔到右邊去。

這個時候如果右邊全是常數已知項，就可以直接計算。

否則就是出現環的模型，彼此概率相互影響。

這個時候列出若干個等式，高斯消元即可。

概率除了遞推的形式，還有用符合條件的方案數占所有方案數的比例表示，前提是等概率。

期望（競賽中的考察）

隨機變量的期望是其每一個取值以概率為權重的加權平均值。

在競賽中這個隨機變量就是最終要求期望的一些限制，類似于事件

【比如最后長度為多少的期望，那么從所有情況中選出最后長度為這么多的情況，再進行期望的相關計算】

有點所有情況帶來的價值的平均值的感覺，是一種整體性的估價。

【因為以后的事情永遠都是未知的，期望就相當于是提前預測的手段，對于每一種情況的可能性，其最終的結果值以及最終發生這種情況的概率】

期望值：反映一個隨機變量取值的平均值。

即 $E(X)={\sum }_{i\in \Omega }p(i)w(i)$（$p(i),w(i)$ 分別表示情況結局為 $i$ 的概率及加權）

【比如最后長度的期望，就是每種可能長度再乘上導致最后結果為這個長度的概率】

關于期望的有三個式子：

• $E(\alpha X)=\alpha E(X)$，其中 $\alpha$ 是常數。
• $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$。
• $E(XY)=(EX)(EY)$

別忘了，互斥才能相加，獨立才能相乘。

這種線性性質證明的話，根據期望的定義 $E(x)=\sum p_i{w}_i$ ，顯然可以拆開相加的。

但好像不懂也可以直接來。因為一般競賽中的都是互斥獨立的。

競賽中的期望有兩種。

一種是純數學的感覺：

對于次數，步數，排名類，這種每次操作會帶來 $1$ 的增長類題目，通常采取遞推，但要注意是順著推還是逆著推。

順推一般定義為從起始態開始到現在的期望。【已經】

逆推一般定義為從現在開始到終止態的期望。【還差】

但一般會采取逆推的形式，因為我們只對終止態的期望有所了解，一般都為 $0$。

【比如：求平面棋盤從左上角走到右下角的期望步數。我們只知道終止態右下角到右下角的期望步數是 $0$ 步】

這種一般會用到一個很強的公式：假設當前點到每個后繼點都有對應的概率，那么逆推是該點的期望是每個后繼點的期望乘以正著時對應轉移的概率，求和，再 $+1$。【表示一次操作的代價，當然有可能是 $+2$ 什么的】

i.e. $i\to j$ 概率為 $c(j)$，$i\to k$ 概率為 $c(k)$。則逆推時 $E(i)=E(j)?C(j)+E(k)?C(k)+1$。

【還是抓住加權平均的想法，期望的設置，就默認了加權平均的分母，將 $C$ 看作情況的概率（新加權）乘上去，之所以能拆開成所有后繼的貢獻，是因為這個點只能轉移到這些后繼點，他們的和是必然事件，后面加的常數是不管怎么轉移都會帶來的貢獻，放在里面也行：$E(i)=(E(j)+1)?C(j)+(E(k)+1)?C(k)$，因為 $C(j)+C(k)=1$，必然事件】

當然，如果正著維護出從初始態開始到每個點的概率，也是可以轉移的。

【邊對后一個點的貢獻其實是相當于起點到前一個點的概率乘以邊權，加權平均】

當寫出遞推式子的時候，可以手玩小數據跑一下，看看是否與預想一般轉移。

另一種就是利用期望公式：結果為 $i$ 的概率乘以 $i$ 再求和。

這種就只能尋找工具（數據結構？？）看能否快速計算出。

這里可以考慮使用概率的相關變化，符合結果條件的情況數占總方案數的概率。

或者預處理概率【比如 $i$ 個中 $j$ 個相關操作，劈里啪啦一頓】

或者是結果為 $i$ 的方案數乘以 $i$ 求和后，再最后除以所有方案數及其加權。

或者其余的。。。

多半要用到組合計數相關知識了。

【比如：一條路徑長度的期望=所有情況下路徑的長度和/所有路徑情況方案數，這是由加權平均值的思想得出的】

再一種就是期望可以分段計算，即為所有單獨小情況的概率之和

當然如果出現和概率一樣的環轉移，就要說使用高斯消元了。

創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【学习笔记】信息学竞赛中的概率与期望小结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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