K-Anonymous Sequence

看了兩年前自己的博客，真的好青澀，連 markdown 都不太會用。

確實觀賞感不是很好。

學習真的是慢慢積累的過程，以前感覺理解很困難的事，隨著知識的增長，現在都基本悟了。

problem

POJ3709

solution

設 $f(i):$ 考慮到前 $i$ 個數，并在 $i$ 個數劃分的最小花費。

可以直接列出狀態轉移，枚舉前一段的位置 $j$ ，則 $[j+1,i]$ 要求相同，且長度要夠長。

$f(i)=\min \{f(j)+sum(i)?sum(j)+a[j+1]?(i?j)\}(j\le i?m)$

其中 $sum(i):$ 前 $i$ 個數的和，即前綴和。

注意到題目給的性質 $a[i]$ 是單增的。

考慮兩個合法轉移點 $j<k$ ，且 $j$ 不優于 $k$。

即滿足：$f(j)+sum(i)?sum(j)+a[j+1]?(i?j)\ge f(k)+sum(i)?sum(k)+a[k+1]?(i?k)$

化簡得：$f(j)?sum(j)?a[j+1]?j?f(k)+sum(k)+a[k+1]?k\ge i?(a[j+1]?a[k+1])$

一般來說，斜率優化是把 $i$ 的系數簡化為 $1$ 的分式形式。但是有些題目可能存在“平臺”，即系數算出來為 $0$。

除法分母不能是 $0$，所以為了防止程序死掉，乘法形式才是最好選擇。

但是因為不等式的存在必須要求 $a$ 的單調性，否則中途的決策點選擇有不等式的變號，就不是斜率優化了。

李超樹才是我們的紅太陽！

單調隊列存儲合法轉移點，每次取最優的隊首轉移。

對于隊首的維護是非常簡單的。

但斜率優化難以理解的問題就在隊尾的維護，即常說的凸包維護。

網上很多就直接上凸包圖像，然后從直線斜率角度入手，這里不贅述。

以此題為例，用語言化的最優點選擇來嘗試闡釋斜率問題。

一般會有，令 $Y(j,k)=f(j)?sum(j)?a[j+1]?j?f(k)+sum(k)+a[k+1]?kX(j,k)=a[j+1]?a[k+1]$

如果只考慮兩個選擇點 $(x,y)$，顯然當 $i$ 增大后，不等式可能存在反向的問題，即 $x$ 不一定就永遠差于 $y$。【現在是要考慮 $i$ 后面點的轉移，$i$ 點也是轉移點】

所以是考慮三個點 $(x,y,z),x<y<z$【這對應著計算 $i$ 后，$i$ 與凸包上的最后一個點形成的直線，以及凸包最后兩個點形成的直線，兩個直線的維護】

因為本題是最小值，所以當 $\frac{Y(x,y)}{X(x,y)}\ge \frac{Y(y,z)}{X(y,z)}?Y(x,y)?X(y,z)\ge Y(y,z)?X(x,y)$ 時，去掉 $y$。【維護凸包】

接下來解釋為什么？？

回到上面式子去，因為 $a$ 是單增，所以 $j<k?X(j,k)<0$ 。即 $\frac{Y(j,k)}{X(j,k)}\le i$，證明 $j$ 不優于 $k$，且注意到 $\frac{Y(j,k)}{X(j,k)}$ 是一個常數，與枚舉點 $i$ 無關。

現在回到這里，對于某個 $i$，如果 $\frac{Y(y,z)}{X(y,z)}\ge i$ 那么一定有 $\frac{Y(x,y)}{X(x,y)}\ge i$。

即，如果 $y$ 優于 $z$，那么 $x$ 一定也優于 $y$，那就沒有 $y$ 什么事了。【對應的上凸包維護，即斜率逐漸遞減】

code

#include <cstdio> using namespace std; #define int long long #define maxn 500005 int T, n, m; int a[maxn], q[maxn], f[maxn], sum[maxn];int Y( int j, int k ) {return f[j] - sum[j] + j * a[j + 1] - f[k] + sum[k] - k * a[k + 1]; }int X( int j, int k ) {return a[j + 1] - a[k + 1]; }signed main() {scanf( "%lld", &T );while( T -- ) {scanf( "%lld %lld", &n, &m );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] ), sum[i] = sum[i - 1] + a[i];int head = 1, tail = 0; q[++ tail] = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {while( head < tail and Y( q[head], q[head + 1] ) >= i * X( q[head], q[head + 1] ) ) head ++;int j = q[head];f[i] = f[j] + sum[i] - sum[j] - a[j + 1] * ( i - j );int k = i - m + 1;if( k >= m ) {while( head < tail and Y( q[tail - 1], q[tail] ) * X( q[tail], k ) >= Y( q[tail], k ) * X( q[tail - 1], q[tail] ) )tail --;q[++ tail] = k;}}printf( "%lld\n", f[n] );}return 0; } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[POJ 3709] K-Anonymous Sequence（斜率优化dp / 动态维护凸包）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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