K-Anonymous Sequence

看了兩年前自己的博客，真的好青澀，連 markdown 都不太會(huì)用。

確實(shí)觀賞感不是很好。

學(xué)習(xí)真的是慢慢積累的過(guò)程，以前感覺(jué)理解很困難的事，隨著知識(shí)的增長(zhǎng)，現(xiàn)在都基本悟了。

problem

POJ3709

solution

設(shè) $f(i):$ 考慮到前 $i$ 個(gè)數(shù)，并在 $i$ 個(gè)數(shù)劃分的最小花費(fèi)。

可以直接列出狀態(tài)轉(zhuǎn)移，枚舉前一段的位置 $j$ ，則 $[j+1,i]$ 要求相同，且長(zhǎng)度要夠長(zhǎng)。

$f(i)=\min \{f(j)+sum(i)?sum(j)+a[j+1]?(i?j)\}(j\le i?m)$

其中 $sum(i):$ 前 $i$ 個(gè)數(shù)的和，即前綴和。

注意到題目給的性質(zhì) $a[i]$ 是單增的。

考慮兩個(gè)合法轉(zhuǎn)移點(diǎn) $j<k$ ，且 $j$ 不優(yōu)于 $k$。

即滿足：$f(j)+sum(i)?sum(j)+a[j+1]?(i?j)\ge f(k)+sum(i)?sum(k)+a[k+1]?(i?k)$

化簡(jiǎn)得：$f(j)?sum(j)?a[j+1]?j?f(k)+sum(k)+a[k+1]?k\ge i?(a[j+1]?a[k+1])$

一般來(lái)說(shuō)，斜率優(yōu)化是把 $i$ 的系數(shù)簡(jiǎn)化為 $1$ 的分式形式。但是有些題目可能存在“平臺(tái)”，即系數(shù)算出來(lái)為 $0$。

除法分母不能是 $0$，所以為了防止程序死掉，乘法形式才是最好選擇。

但是因?yàn)椴坏仁降拇嬖诒仨氁?$a$ 的單調(diào)性，否則中途的決策點(diǎn)選擇有不等式的變號(hào)，就不是斜率優(yōu)化了。

李超樹才是我們的紅太陽(yáng)！

單調(diào)隊(duì)列存儲(chǔ)合法轉(zhuǎn)移點(diǎn)，每次取最優(yōu)的隊(duì)首轉(zhuǎn)移。

對(duì)于隊(duì)首的維護(hù)是非常簡(jiǎn)單的。

但斜率優(yōu)化難以理解的問(wèn)題就在隊(duì)尾的維護(hù)，即常說(shuō)的凸包維護(hù)。

網(wǎng)上很多就直接上凸包圖像，然后從直線斜率角度入手，這里不贅述。

以此題為例，用語(yǔ)言化的最優(yōu)點(diǎn)選擇來(lái)嘗試闡釋斜率問(wèn)題。

一般會(huì)有，令 $Y(j,k)=f(j)?sum(j)?a[j+1]?j?f(k)+sum(k)+a[k+1]?kX(j,k)=a[j+1]?a[k+1]$

如果只考慮兩個(gè)選擇點(diǎn) $(x,y)$，顯然當(dāng) $i$ 增大后，不等式可能存在反向的問(wèn)題，即 $x$ 不一定就永遠(yuǎn)差于 $y$。【現(xiàn)在是要考慮 $i$ 后面點(diǎn)的轉(zhuǎn)移，$i$ 點(diǎn)也是轉(zhuǎn)移點(diǎn)】

所以是考慮三個(gè)點(diǎn) $(x,y,z),x<y<z$【這對(duì)應(yīng)著計(jì)算 $i$ 后，$i$ 與凸包上的最后一個(gè)點(diǎn)形成的直線，以及凸包最后兩個(gè)點(diǎn)形成的直線，兩個(gè)直線的維護(hù)】

因?yàn)楸绢}是最小值，所以當(dāng) $\frac{Y(x,y)}{X(x,y)}\ge \frac{Y(y,z)}{X(y,z)}?Y(x,y)?X(y,z)\ge Y(y,z)?X(x,y)$ 時(shí)，去掉 $y$。【維護(hù)凸包】

接下來(lái)解釋為什么？？

回到上面式子去，因?yàn)?$a$ 是單增，所以 $j<k?X(j,k)<0$ 。即 $\frac{Y(j,k)}{X(j,k)}\le i$，證明 $j$ 不優(yōu)于 $k$，且注意到 $\frac{Y(j,k)}{X(j,k)}$ 是一個(gè)常數(shù)，與枚舉點(diǎn) $i$ 無(wú)關(guān)。

現(xiàn)在回到這里，對(duì)于某個(gè) $i$，如果 $\frac{Y(y,z)}{X(y,z)}\ge i$ 那么一定有 $\frac{Y(x,y)}{X(x,y)}\ge i$。

即，如果 $y$ 優(yōu)于 $z$，那么 $x$ 一定也優(yōu)于 $y$，那就沒(méi)有 $y$ 什么事了。【對(duì)應(yīng)的上凸包維護(hù)，即斜率逐漸遞減】

code

#include <cstdio> using namespace std; #define int long long #define maxn 500005 int T, n, m; int a[maxn], q[maxn], f[maxn], sum[maxn];int Y( int j, int k ) {return f[j] - sum[j] + j * a[j + 1] - f[k] + sum[k] - k * a[k + 1]; }int X( int j, int k ) {return a[j + 1] - a[k + 1]; }signed main() {scanf( "%lld", &T );while( T -- ) {scanf( "%lld %lld", &n, &m );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] ), sum[i] = sum[i - 1] + a[i];int head = 1, tail = 0; q[++ tail] = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {while( head < tail and Y( q[head], q[head + 1] ) >= i * X( q[head], q[head + 1] ) ) head ++;int j = q[head];f[i] = f[j] + sum[i] - sum[j] - a[j + 1] * ( i - j );int k = i - m + 1;if( k >= m ) {while( head < tail and Y( q[tail - 1], q[tail] ) * X( q[tail], k ) >= Y( q[tail], k ) * X( q[tail - 1], q[tail] ) )tail --;q[++ tail] = k;}}printf( "%lld\n", f[n] );}return 0; } 創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來(lái)咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[POJ 3709] K-Anonymous Sequence（斜率优化dp / 动态维护凸包）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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