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素性測試是檢驗一個給定的整數(shù)是否為素數(shù)的測試。

最簡單的就是用 $\sqrt{n}$ 以內(nèi)的數(shù)去試除。這是確定性的算法，即能準確知道 $n$ 是否為質(zhì)數(shù)。

但今天學習的是一種隨機算法。

Fermat 小定理

如果 $p$ 是一個質(zhì)數(shù)，且 $a\%p=0$，則有 $a^{p?1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

利用 Fermat定理 可以得到一個測試合數(shù)的有力算法：對 $n>1$，選擇 $a>1$， 計算 $a^{n?1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$。

• 若結(jié)果 $=1$，則 $n$ 是合數(shù)。

• 若結(jié)果 $=1$， 則 $n$ 可能是素數(shù)，并被稱為一個以 $a$ 為基的弱可能素數(shù) (a-PRP) 。

  若 $n$ 是合數(shù)，則又被稱為一個以 $a$ 為基的偽素數(shù)。

這個算法的成功率是相當高的。在 $<25000000000$ 的 $1091987405$ 個素數(shù)中，一共只有 $21853$ 個以 $2$ 為基的偽素數(shù)。

但不幸的是，存在無窮多個被稱為 Carmichael數(shù)（卡邁克爾數(shù)）的整數(shù)，對于任意與其互素的整數(shù) $a$ 算法的計算結(jié)果都是 $1$。

最小的五個 Carmichael數(shù) 是 $561、1105、1729、2465、2801$ 。

miller_rabin(米勒-拉賓)素性測試

定理 ：如果 $p$ 是個 $>2$ 的質(zhì)數(shù)，則方程 $x^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 的解只有 $x=\pm 1$。

證明：

$x^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)?x^2?1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)?(x+1)(x?1)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

若 $p|(x+1)\wedge p|(x?1)$。則一定存在兩個數(shù) $j,k$，使得 $x+1=jp,x?1=kp$，兩式相減 $2=(k?j)p$，不可能。

所以只可能是 $p|(x+1)\vee p|(x?1)$。

設(shè) $p|(x+1)$，則 $x+1=kp?x\equiv ?1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

設(shè) $p|(x?1)$，則 $x?1=kp?x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

以上定理的逆否命題：當方程 $x^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 有一個解 $x=?1\wedge x=1$，則 $p$ 一定不是質(zhì)數(shù)。

miller_rabin 是一個質(zhì)數(shù)判斷算法，采用隨機算法能夠在很短的時間里判斷一個數(shù)是否是質(zhì)數(shù).

如何將卡邁克爾數(shù)甄別出來，這里要用到 二次探測方法。

算法流程：

• 設(shè) $p$ 是要判斷的數(shù)，$2$ 特判后，$p$ 如果是質(zhì)數(shù)必須是奇數(shù)

• 將 $p?1$ 分解為 $2^r?k$，則有 $a^{p?1}=(a^k{)}^{2^r}$

• 可以先求出 $a^k$，然后將其不斷平方，并取模 $p$

• 對于任意的 $0<a<p$，有 $a^k\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，或者 $a^{2^s?k}\equiv ?1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p),0\le s<r$。

  只要有一個等式成立，那么后面不斷平方結(jié)果也是 $1$，在代碼實現(xiàn)時就會立即跳出。

  如果一個都沒有成立則說明一定不是個質(zhì)數(shù)。

但是當 $p$ 為合數(shù)的時候，也可能會騙過檢測，這就是“偽素數(shù)”。

如果挑選多個不同的 $a$ 來檢測，那么就會降低騙過的概率。

這也就是 miller_rabin 要多次操作的原因。

容錯率是 ${\frac{1}{4}}^c$，取決于操作次數(shù) $c$。

在競賽中，用固定的幾個數(shù)就夠了，附表。

$n\le$$a$

2047	2
1373653	2，3
9080191	31，73
25326001	2，3，5
4759123141	2，7，61
1122004669633	2，3，13，1662803
2152302898747	2，5，7，11
3474749660383	2，5，7，11，13
341550071728321	2，3，5，7，11，13，17
3825123056546413051	2，3，5，7，11，13，17，19

HDU2138

#include <cstdio> using namespace std; #define int long long int test[5] = { 2, 3, 61 };int qkpow( int x, int y, int mod ) {int ans = 1;while( y ) {if( y & 1 ) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans; }bool dfs( int n, int a, int d ) {if( n == a ) return 1;if( ! ( n & 1 ) ) return 0;while( ! ( d & 1 ) ) d >>= 1;int x = qkpow( a, d, n );while( d ^ ( n - 1 ) and x ^ 1 and x ^ ( n - 1 ) ) {x = x * x % n;d <<= 1;}return x == n - 1 or ( d & 1 ); }bool isprime( int n ) {if( n == 2 ) return 1;for( int i = 0;i < 2;i ++ ) if( ! dfs( n, test[i], n - 1 ) ) return 0;return 1; }signed main() {int T, n;while( ~ scanf( "%lld", &T ) ) {int sum = 0;for( int i = 1;i <= T;i ++ ) {scanf( "%lld", &n );if( isprime( n ) ) sum ++;}printf( "%lld\n", sum );}return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【学习笔记】Miller-Rabin(米勒-拉宾)素性测试，附常用表的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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