本題已自我實現。但仍歸于無碼專區

problem

求 ${\sum }_{i=1}^{n?1}i?(n?i)$。

$20\%,n\le 1e6;;50\%,n\le 1e9;;70\%,n\le 1e18;;100\%,n\le 10^{500}$。

$1s,128MB$。

my idea

當看到 $n$ 的數據范圍且不取模的那一刻，我就知道大整數跑不掉了。

最基礎 $20\%$ ，直接暴力做。

會發現 $i?(n?i)=(n?i)?i$，所以其實上是 $2{\sum }_{i=1}^{\frac{n?1}{2}}i?(n?i)$ 大概這樣的。

我曾試圖每一位單獨考慮，但很難下手。

直觀地，我能感受到是 $log$ 的正解。

但由于對異或計算法則的不了解，我覺得自己并不能做出這道題來。

solution

$i?(n?i)=(n?i)?i?2{\sum }_{i=1}^{\frac{n?1}{2}}i?(n?i)$，真的就是正解的關鍵所在。

如果我在考場上繼續細想，應該是能找到規律的。

• $n=2k+1$

  $f(n)={\sum }_{i=1}^{n?1}i?(n?i)=2{\sum }_{i=1}^{k}2i?(2k+1?2i)$

  因為 $2i,2k,2k?2i$ 均為偶數，所以每次異或，$2^0$ 為是 $1$。

  $?f(n)=2{\sum }_{i=1}^{k}2i?(2k?2i)+2k$

  參與異或的只有偶數，整體右移 $1$。

  $?f(n)=4{\sum }_{i=1}^{k}i?(n?i)+2k$

  感覺很有機會轉化成一半的子問題，把 $i=k$ 提出來。

  $?f(n)=4{\sum }_{i=1}^{k?1}i?(n?i)+4(k?0)+2k$

  $?f(n)=4f(k)+6k$

• $n=2k$

  $f(n)={\sum }_{i=1}^{n?1}i?(n?i)={\sum }_{i=1}^{k}2i?(2k?2i)+{\sum }_{i=1}^k(2i?1)?(2k?2i+1)$

  $?f(n)=2f(k)+{\sum }_{i=0}^{k?1}(2i+1)?(2k?2i?1)$

  $?f(n)=2f(k)+{\sum }_{i=0}^{k?1}(2i+1)?[2(k?1)?2i+1]$

  $2i+1$ 是奇數，$2(k?1)?2i+1$ 也是奇數，所以異或后 $2^0$ 二進制位一定是 $0$。

  那么就不管了，直接整體右移 $1$。

  $?f(n)=2f(k)+2{\sum }_{i=0}^{k?1}i?(k?1?i)$

  感覺很有機會轉化成一半的子問題，把 $i=0,i=k?1$ 提出來。

  $?f(n)=2f(k)+4(k?1)+2{\sum }_{i=1}^{k?2}i?(k?1?i)$

  $?f(n)=2f(k)+2f(k?1)+4k?4$

直接記憶化搜索，最后就是要寫大整數加減乘除賦值了。

trick
因為我曾試圖用 map<Int,Int> 來記錄 $f[n]$，但是沒寫過。
重載 SLT 內部運算真的搞崩了。
所以我將字符串進行了自然溢出的 hash
map<ull,Int> 就不用管重載 map 的 < 了。
最后就是空間比較小，我寫的是數組，不是 vector 存大數。
只知道 1000 太小，1500 太大。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define ull unsigned long long struct Int {int len, v[1300]; ull Hash;Int() { len = 1; memset( v, 0, sizeof( v ) ); }Int( int x ) { memset( v, 0, sizeof( v ) ); v[len = 1] = x; calc(); }void read() {char s = getchar(); len = 0;while( '0' <= s and s <= '9' ) {v[++ len] = s ^ 48;s = getchar();}reverse( v + 1, v + len + 1 );}void print() { for( int i = len;i;i -- ) printf( "%d", v[i] ); puts(""); }void calc() { Hash = 1; for( int i = 1;i <= len;i ++ ) Hash = Hash * 131 + v[i]; }Int operator + ( Int x ) {Int ans;int ip = 1;while( ip <= len or ip <= x.len ) {ans.v[ip + 1] = ( v[ip] + x.v[ip] + ans.v[ip] ) / 10;ans.v[ip] = ( v[ip] + x.v[ip] + ans.v[ip] ) % 10;ip ++;}while( ip > 1 and ! ans.v[ip] ) ip --;ans.len = ip;ans.calc();return ans;}Int operator - ( int k ) {Int ans;Int x( k );int ip = 1;while( ip <= len or ip <= x.len ) {ans.v[ip] = v[ip] - x.v[ip];if( ans.v[ip] < 0 ) v[ip + 1] --, ans.v[ip] += 10;ip ++;}while( ip > 1 and ! ans.v[ip] ) ip --;ans.len = ip;ans.calc();return ans;}Int operator * ( int x ) {Int ans;ans.len = len + 1;for( int i = 1;i <= len;i ++ ) {ans.v[i + 1] = ( ans.v[i] + v[i] * x ) / 10;ans.v[i] = ( v[i] * x + ans.v[i] ) % 10;}while( ans.len > 1 and ! ans.v[ans.len] ) ans.len --;ans.calc();return ans;}Int operator / ( int x ) {Int ans; int k = 0;ans.len = len;for( int i = len;i;i -- ) {k = ( k << 1 ) + ( k << 3 ) + v[i];ans.v[i] = k / x;k %= x;}while( ans.len > 1 and ! ans.v[ans.len] ) ans.len --;ans.calc();return ans;}Int operator = ( Int x ) {len = x.len;Hash = x.Hash;memcpy( v, x.v, sizeof( x.v ) );return *this;}}; map < ull, Int > f;Int dfs( Int n ) {if( f.count( n.Hash ) ) return f[n.Hash];if( n.len == 1 and ( n.v[1] == 1 or n.v[1] == 0 ) ) return (Int)0;if( n.v[1] & 1 ) f[n.Hash] = dfs( n / 2 ) * 4 + n / 2 * 6;else f[n.Hash] = dfs( n / 2 ) * 2 + dfs( n / 2 - 1 ) * 2 + n * 2 - 4;return f[n.Hash]; }signed main() {freopen( "rox.in", "r", stdin );freopen( "rox.out", "w", stdout );Int n;n.read(); dfs( n ).print();return 0; } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【无码专区11】异或2（结论 / 推式子 + 哈希hash + 大整数高精度 加减乘除重载考察）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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