problem

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solution

顯然題目指向：存在歐拉回路的州劃分是不合法的。

當且僅當這個州是 聯通 的且 內部沒有奇數度數的點 時，這個州不合法。

因為 $n$ 非常小，我們可以枚舉每一種州劃分方案，判斷是否合法，順便記錄每個劃分方案的貢獻。

設 $f(s):$ 當前劃分集合為 $s$ 的答案，$g(s):$ 劃分一個州為 $s$ 是否合法，$val(s):$ 劃分州為 $s$ 的貢獻。

列出狀態轉移方程：$f(s)={\sum }_{t\in s}f(s?t)g(t)(\frac{val(t)}{val(s)}{)}^p$。

顯然能看到有卷積的形式，即 $f(s)={\sum }_{i?j=?\wedge i?j=s}f(j)g(i)(\frac{val(i)}{val(s)}{)}^p$。

$i?j=s$ 可以直接用 $\text{FWT}$ 做，但是 $i?j=?$ 就不好做了。

如果結合并集為 $s$ 的信息，也就意味著 $|i|+|j|=|s|$。

對于 $dp$ 的設計可以再加一維二進制狀態中 $1$ 的個數。

$f(i,s):s$ 中 $1$ 的個數為 $i$ 的答案，$g(i,s):[s$ 成立 $]?val(s)$。

$f(i,s)g(i,s)={\sum }_{j=0}^{i?1}{\sum }_{t\in s}f(j,s?t)g(i?j,t)$。

預處理貢獻和貢獻的逆元，狀態是否合法，直接 $\text{FWT}$ 卷積即可。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long #define mod 998244353 int n, m, p, N; int u[250], v[250], w[25], fa[25], d[25], val[1 << 21], tot[1 << 21], inv[1 << 21]; bool ok[1 << 21]; int f[22][1 << 21], g[22][1 << 21];int qkpow( int x, int y ) {int ans = 1;while( y ) {if( y & 1 ) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans; }void fwt( int *c, int f ) {for( int i = 1;i < N;i <<= 1 )for( int j = 0;j < N;j += ( i << 1 ) )for( int k = 0;k < i;k ++ )c[j + k + i] = ( c[j + k + i] + c[j + k] * f % mod + mod ) % mod; }int find( int x ) { return x == fa[x] ? x : fa[x] = find( fa[x] ); }signed main() {scanf( "%lld %lld %lld", &n, &m, &p );for( int i = 1;i <= m;i ++ ) scanf( "%lld %lld", &u[i], &v[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &w[i] );N = 1 << n;for( int s = 0;s < N;s ++ ) {int num = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {if( 1 << i - 1 & s ) num ++, val[s] += w[i];d[i] = 0, fa[i] = i;}tot[s] = num;for( int i = 1;i <= m;i ++ )if( 1 << u[i] - 1 & s and 1 << v[i] - 1 & s ) {int fu = find( u[i] ), fv = find( v[i] );if( fu ^ fv ) num --, fa[fv] = fu;d[u[i]] ++, d[v[i]] ++;}if( num ^ 1 ) ok[s] = 1;num = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) num += d[i] & 1;if( num ) ok[s] = 1;if( ok[s] ) g[tot[s]][s] = qkpow( val[s], p );inv[s] = qkpow( qkpow( val[s], p ), mod - 2 );}for( int i = 0;i <= n;i ++ ) fwt( g[i], 1 );f[0][0] = 1;fwt( f[0], 1 );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {for( int j = 0;j < i;j ++ )for( int k = 0;k < N;k ++ )f[i][k] = ( f[i][k] + f[j][k] * g[i - j][k] ) % mod;fwt( f[i], -1 );for( int j = 0;j < N;j ++ ) f[i][j] = tot[j] == i ? f[i][j] * inv[j] % mod : 0;fwt( f[i], 1 ); }printf( "%lld\n", f[n][N - 1] );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[WC2018]州区划分（FWT_OR卷积）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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