problem

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solution

顯然，合法序列的狀態要求任何一個前綴的白色球數$\ge$已出現的不同顏色數。

所以可以將球分成白色球和有顏色球兩類球分開放。

其次，有顏色球一類重要的是有顏色球第一個放的位置，因為這會影響到前綴顏色數以及前綴白色球數的限制。

再者，不同顏色間是等價的，不妨先不區分顏色，只考慮每組個數，最后上顏色時再乘以 $n!$ 。

考慮確定當前第一個空位放什么類球，設 $f_{i,j}:$ 放了 $i$ 個白球，$j$ 組顏色球的方案數。

• 放白球。$f_{i,j}{\leftarrow }^{+}{f}_{i?1,j}$。

• 放第一個有顏色球。$f_{i,j}{\leftarrow }^{+}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{nk?(j?1)(k?1)?i?1}{k?2}\right)f_{i,j?1}$。

  簡單解釋一下這個組合數系數怎么來的。

  總球數 $nk$，大前提下的分類 $n$ 個白球，$n(k?1)$ 個有顏色球。

  放了 $i$ 個白球，放了 $j?1$ 組有顏色球，共 $(j?1)(k?1)$ 個。

  當前空位（前面都放滿了）強制是第 $j$ 組顏色球的第一個。

  每組球拿了一個做白球，固定了第一個位置，剩下 $k?2$ 個球的位置就是隨意選擇的了。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long #define mod 1000000007 #define maxn 2505 int n, k; int inv[maxn * maxn], fac[maxn * maxn]; int f[maxn][maxn];int qkpow( int x, int y ) {int ans = 1;while( y ) {if( y & 1 ) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans; }int C( int n, int m ) { if( n < m or m < 0 ) return 0;else return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod; }signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &k );if( k == 1 ) return ! printf( "1\n" );fac[0] = inv[0] = 1;for( int i = 1;i <= n * k;i ++ ) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;inv[n * k] = qkpow( fac[n * k], mod - 2 );for( int i = n * k - 1;i;i -- ) inv[i] = inv[i + 1] * ( i + 1 ) % mod;f[0][0] = 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ )for( int j = 0;j <= i;j ++ ) {( f[i][j] += f[i - 1][j] ) %= mod;if( j ) ( f[i][j] += C( n * k - i - ( j - 1 ) * ( k - 1 ) - 1, k - 2 ) * f[i][j - 1] % mod ) %= mod;}printf( "%lld\n", f[n][n] * fac[n] % mod );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的AtCoder 2000 [AGC002F] Leftmost Ball（dp+组合数）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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