problem

luogu-P5361

他的聯系薄上有 $n$ 位好友，他們兩兩之間或者互相認識，或者互相不認識。

小 Q 希望在周六辦一個熱鬧的聚會，再在周日辦一個尷尬的聚會。

• 一場熱鬧度為 $p$ 的聚會請來了任意多位好友，對于每一位到場的好友來說都有至少 $p$ 位他認識的好友也參加了聚會，且至少對于一位到場的好友來說現場恰好有 $p$ 位他認識的好友；
• 一場尷尬度為 $q$ 的聚會請來了恰好 $q$ 位好友，且他們兩兩互不認識。

兩場聚會可能有重復的參與者，聯系薄上也有可能有某些好友同時缺席了兩場聚會。

小 Q 喜歡周六聚會的熱鬧度 $p$ 與周日聚會的尷尬度 $q$ 之間滿足：$?\frac{n}{p+1}?\le q$ 且 $?\frac{n}{q+1}?\le p$。

請幫助小 Q 找出一個可行的邀請方案。

solution

$\text{observation1}:$ $?\frac{n}{p+1}?\le q\wedge ?\frac{n}{q+1}?\le p?(p+1)(q+1)\ge n+1$。

我們只需要分別最大化 $p,q$ 即可。

看似是兩個獨立的部分，實際上他們各自的構造方式是一樣的原理。

• 熱鬧的聚會。即度數限制的圖。

每次找出當前圖中度數最小的點，更新 $p$ 的最大值。

并刪掉這個點，動態地改變與之相連的其余點的度數。

將彈出的編號桉順序記錄下來，并記下最大值的位置。

位置以前的點則是不被選的。

• 尷尬的聚會。即獨立集。

  每次找出當前圖中度數最小的且未被標記的點，加入尷尬的聚會。

  然后標記與之直接相連的所有點都不能參加聚會。

下面給出該構造的正確性證明：

將每個點加入尷尬的聚會，除去這個點本身，最多會從圖中刪掉 $p$ 個點。顯然 $q\ge ?\frac{n}{p+1}?$。

如果獨立集的選點運行了 $q$ 次，第 $i$ 次刪掉的點度數為 $d_i$。

則有 ${\sum }_{i=1}^q(d_i+1)\ge n$。而 $(q+1)?\max (d_i+1)\ge n$ 顯然。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 10005 #define Pair pair < int, int > int T, n, m; int p[maxn], q[maxn], vis[maxn], deg[maxn], d[maxn]; vector < int > G[maxn]; priority_queue < Pair, vector < Pair >, greater < Pair > > Q;int main() {scanf( "%d", &T );while( T -- ) {scanf( "%d %d", &n, &m );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) deg[i] = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) G[i].clear();for( int i = 1, u, v;i <= m;i ++ ) {scanf( "%d %d", &u, &v );G[u].push_back( v );G[v].push_back( u );deg[u] ++, deg[v] ++;}int ans1 = 0, cnt1 = 0, pos;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) vis[i] = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) d[i] = deg[i];for( int i = 1;i <= n;i ++ ) Q.push( make_pair( d[i], i ) );while( ! Q.empty() ) {int u = Q.top().second, w = Q.top().first; Q.pop();if( vis[u] ) continue; vis[u] = 1;p[++ cnt1] = u;if( w > ans1 ) ans1 = w, pos = cnt1;for( int v : G[u] ) if( ! vis[v] ) Q.push( make_pair( --d[v], v ) );}int ans2 = 0, cnt2 = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) vis[i] = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) d[i] = deg[i];for( int i = 1;i <= n;i ++ ) Q.push( make_pair( d[i], i ) );while( ! Q.empty() ) {int u = Q.top().second, w = Q.top().first; Q.pop();if( vis[u] ) continue;vis[u] = 1;q[++ cnt2] = u;for( int v : G[u] ) vis[v] = 1;}for( int i = 1;i <= n;i ++ ) vis[i] = 0;for( int i = 1;i <= pos;i ++ ) vis[p[i]] = 1;printf( "%d ", n - pos );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) if( ! vis[i] ) printf( "%d ", i );puts("");printf( "%d ", cnt2 );for( int i = 1;i <= cnt2;i ++ ) printf( "%d ", q[i] );puts("");}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[SDOI2019] 热闹的聚会与尴尬的聚会的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。