逆元：
對于a和p，若 a * inv(a) % p ≡ 1，則稱inv(a)為a%p的逆元。其中p為質數
逆元就是在mod下，不能直接除以一個數，而要乘以他的逆元
a * inv(a) = 1 (mod p)
x / a可以改成 x * inv(a) % p

文章目錄

• • 方法一.擴展歐幾里得
  • • 代碼：
  • 方法二.費馬小定理+歐拉定理
  • • 代碼：
  • 方法三:遞推求逆元
  • • 代碼

方法一.擴展歐幾里得

a * inv(a) = 1 (mod p)
可以變形成 a * inv(a) +k * p = 1(前提是a和p要互素)
可以用擴歐的公式來計算
時間復雜度:O(logn)
適用范圍：只要存在逆元即可求，適用于個數不多但是mod很大的時候，也是最常見的一種求逆元的方法。

代碼：

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//擴展歐幾里得算法 {if(b==0){x=1;y=0;return a; //到達遞歸邊界開始向上一層返回}ll gcd=exgcd(b,a%b,x,y);ll y1=y; //把x y變成上一層的ll x1=x;y=x1-(a/b)*y1;x=y1;return gcd; //得到a b的最大公因數 } ll inv(ll a,ll mod){ll x,y;ll gcd=exgcd(a,mod,x,y);if(gcd!=1)return -1;else return (x+mod)%mod; }

方法二.費馬小定理+歐拉定理

費馬小定理：假如p是質數，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡ 1（mod p），進一步可以推出a^p-2 * a ≡ 1 (mod p)
a^p-2就是a在mod p意義下的逆元
歐拉函數：a^φ(n)≡1 (mod n) ，其中 gcd(a,n)=1
若n為素數，φ(n)=n-1
時間復雜度 O(log mod)
適用范圍：在mod是素數的時候使用，比擴歐快

代碼：

ll poww(ll a,ll b,ll mod){ll ans=1;ll base=a;while(b){if(b&1)ans=ans*base%mod;base=base*base%mod;b>>=1;}return ans%mod; } ll inv(ll a,ll mod){return poww(a,mod-2,mod); }

方法三:遞推求逆元

時間復雜度為O（n）
使用條件：mod為不是很大的素數，且需要多次調用

代碼

long long inv[maxn]; void init(long long n,long long p) {inv[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){inv[i]=((p-p/i)*inv[p%i]%p);} } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的逆元的求法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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