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文章目錄

• • 狀壓dp
  • 預(yù)備知識(shí)——位運(yùn)算
• 例題：
• • 引入：
  • NC20240 [SCOI2005]互不侵犯
  • NC16886 炮兵陣地
  • TSP問題 NC16122郊區(qū)春游 NC16544簡單環(huán)
  • NC15832 Most Powerful
  • 棋盤覆蓋 poj2411 NC107008 Mondriaan's Dream
  • 總結(jié)：
• 習(xí)題：
• • NC14732 鎖
  • NC15034 德瑪西亞萬歲
  • NC16418 寶藏
  • NC17061 多彩的樹
  • NC17890 方格填色
  • NC20485 [ZJOI2009]多米諾骨牌

預(yù)備知識(shí)——位運(yùn)算

當(dāng)做01串處理
<< 左移（有可能溢出）
.>> 右移（最后一位丟掉）
| 或
& 和
^ 異或（相同為0，不同為1）
~ 取反
操作：
去掉最后一位：x>>1
在最后加上一個(gè)0：x<<1
在最后加一個(gè)1：（x<<1）+1
把最后一位變成1：x | 1
把最后一位變成0：（x|1）-1
最后一位取反：x^1
把從右邊數(shù)第k位變成1：x | (1<<(k-1))
把從右邊數(shù)第k位變成0：x&（~（1<<(k-1)））
把右數(shù)第k位取反：x^(1<<(k-1))
取末k位：x&((1<<k)-1）
取右數(shù)第k位（x>>(k-1)）&1
把末k位變成1:x|((1<<k)-1)
末k位取反:x^((1<<k)-1)
把右邊連續(xù)的1變成0: x&(x+1)
把右邊第一個(gè)0變成1: x|(x+1)
把右邊連續(xù)的0變成1： x|(x-1)
去右邊連續(xù)的1：(x^(x+1))>>1
去掉右邊第一個(gè)1的左邊：x&(-x)

例題：

引入：

在n*n的方格上放n個(gè)車，它們不能在同一行列，問總方案數(shù)
方法：階乘 n！

添加要求：某些格子不能放
方法：
取棋子的放置情況當(dāng)做狀態(tài)，放則為1，不放為0
n=5，第1,3，4已經(jīng)放置，狀態(tài)就是01101（從右向左）
dp[i][st]表示前i行的狀態(tài)為st的方法數(shù)
dp[i][st]=∑dp[i-1][st’]
st理解成01串
st’與st關(guān)系滿足：(st’ & (1<<(j-1)))==0 && st’ +(1<<(j-1)) = = st
st’中第j列沒有放，并且st’放上第j列后就等于st
st’=0 0 1 0 1
然后放在第四列
st=0 1 1 0 1

NC20240 [SCOI2005]互不侵犯

題解鏈接
題目：n*n的方格放k個(gè)車，車之間不能靠著，問多少種方法？
題解：
需要知道前一行的情況，所以一行一行的放車
記錄每行的情況
在本題中，不能存在相鄰的1
對(duì)于一行x：
(x&(x<<1))==0----->可以判斷左右是否有相鄰的1
對(duì)于上一行x，下一行y：
(x&y）= = 0
(x&(y<<1)) = =0
(x&(y>>1)) = = 0
上下，左下，右下都不為0
dp[i][j][k]表示第i行狀態(tài)為k，已經(jīng)放了j個(gè)車
轉(zhuǎn)移方程：
dp[i][j][k]+=dp[i-1][j-num[k]][p]
(k&p) = = 0
(x&(p<<1))= =0
(x&(p>>1))= =0
num[k]表示k狀態(tài)的國王數(shù)

NC16886 炮兵陣地

題解鏈接
題目：
n*m個(gè)網(wǎng)格，有平原，有山地，平原可以放部隊(duì)，部隊(duì)攻擊范圍如圖（不受地形影響）

在防止誤傷的情況下，最多能放多少炮兵部隊(duì)
題解：
確定狀態(tài)：
因?yàn)槊總€(gè)炮可以打到兩行，所以每一行放置方式與他放置的情況有關(guān)
dp[i][j][k]表示第i行為狀態(tài)j，第i-1行為狀態(tài)k時(shí)所用的最大炮兵數(shù)
也就是同時(shí)記錄兩行狀態(tài)，根據(jù)已知的兩行狀態(tài)推下一行
狀態(tài)轉(zhuǎn)移：
dp[i][j][p]=max(dp[i][j][p],dp[i-1][p][q]+num[j])
q被枚舉
第i行狀態(tài)：j
第i-1行狀態(tài)：p
第i-2行狀態(tài)：q
j，p，q不能發(fā)生沖突
任意1左右兩邊兩位都不是1
((i&(i>>1))==0) && ((i&(i>>2)) ==0)
且1的位置必須是平原
優(yōu)化：保存符合條件的二進(jìn)制串，只枚舉自身符合要求的二進(jìn)制串

TSP問題 NC16122郊區(qū)春游 NC16544簡單環(huán)

郊區(qū)春游題解鏈接
簡單環(huán)題解鏈接
題目：
給定一張圖，求從某個(gè)起點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過所有的點(diǎn)的最短路徑（每個(gè)點(diǎn)經(jīng)過且只經(jīng)過一遍）
題解：
dp[st][i]表示當(dāng)前狀態(tài)st，最后到達(dá)的一個(gè)點(diǎn)是i，所經(jīng)過的最短路徑
st是01串，1表示該點(diǎn)走過
狀態(tài)轉(zhuǎn)移：
dp[st][i]=minn(dp[st’][j]+a[j][i])
st’+(1<<(i-1))==st
st’&(1<<(i-1))==0
st’第i位是0
st第i位是1
擴(kuò)展
如果要求走完所有的點(diǎn)回到原點(diǎn)怎么辦？
dp[111111][？？]
？？：1—>n
加上1到起點(diǎn)的距離，2到起點(diǎn)的距離…，比較哪個(gè)最佳

NC15832 Most Powerful

題解鏈接
題目：
不超過十種氣體，兩兩碰撞產(chǎn)生一定能量，a碰b，b就會(huì)消失，不能自身碰，問最后得到的最大能量
題解：
確定狀態(tài)：
dp[i]表示狀態(tài)i時(shí)所能獲得的最大能量
i的第k位為1，則說明第k個(gè)氣體已經(jīng)用了并消失。為0則說明沒用或是用了沒消失
狀態(tài)轉(zhuǎn)移：
dp[k|(1<<(i-1))]=max(dp[k]+a[j][i])]
用當(dāng)前狀態(tài)k推出新狀態(tài)（狀態(tài)是往前看）
k|(1<<(i-1))：k的第i位變?yōu)?，第i個(gè)氣體沒了
i和j均要枚舉

答案dp[x]:x為只有一個(gè)0的01串

棋盤覆蓋 poj2411 NC107008 Mondriaan’s Dream

題解鏈接
題目：
n * m的矩陣，用1 * 2和2 * 1的磚快密鋪，問多少種方法：


豎向磚塊我們上面填0，下面填1
上下兩行狀態(tài)做&操作，為0的位置就是豎向磚塊的下邊沿，剩下的1就是下邊磚塊的，相鄰的1是否為偶數(shù)個(gè)，如果是偶數(shù)個(gè)說明可以填滿，否則不合理
（太難了~ ~ ~）

總結(jié)：

把復(fù)雜的情況壓縮，將一個(gè)狀態(tài)壓縮成一個(gè)整體
hash過程
什么問題用狀壓dp：
在棋盤格子上覆蓋，有一維不是很大即可
類似于TSP的路徑問題
N比較小，變成n位二進(jìn)制后還很合理

習(xí)題：

題目鏈接

NC14732 鎖

NC15034 德瑪西亞萬歲

NC16418 寶藏

NC17061 多彩的樹

NC17890 方格填色

NC20485 [ZJOI2009]多米諾骨牌

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

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