題意：

求給定區(qū)間 [X,Y] 中滿足下列條件的整數(shù)個(gè)數(shù)：這個(gè)數(shù)恰好等于 K 個(gè)互不相等的 B 的整數(shù)次冪之和。

題解：

數(shù)位DP
技巧1：[X,Y]=>f(Y)-f(X-1)
技巧2：用樹的方式來考慮。

在本題中，題意是問[X,Y]中的數(shù) 轉(zhuǎn)發(fā)成B進(jìn)制，B進(jìn)制有K位是1
比如樣例中：17 ，k=2，B=2
就是把17轉(zhuǎn)成二進(jìn)制，看二進(jìn)制中是否有K個(gè)1
17的二進(jìn)制是：10001，說明17=2⁴+2⁰,符合要求
我們現(xiàn)在想具體做法:我們利用前綴和的方式，想法1~n之間符合要求的個(gè)數(shù)，這樣就可以方便求出任意區(qū)間的數(shù)量。
對(duì)于一個(gè)N位數(shù)，我們將N的各位拆成an-1到a0（從高到底），然后我們用樹的形式來考慮，對(duì)于最高位an-1，他可以是a_n-1或者是0到a_n-1-1之間的數(shù)，如果是0到a_n-1-1之間的數(shù)，我們具體討論，如果是1，說明剩下位置是需要k-1個(gè)1，如果是非1，剩下位置只需要k個(gè)1，直接用組合數(shù)就可以表示（如圖），而對(duì)于第an-1位是a_n-1的話我們可以繼續(xù)分解

參考題解（下圖來源）

談?wù)勎覍?duì)數(shù)位dp的理解，為什么要拆分成左右兩側(cè)，左側(cè)是0 ~ a_n-1，右側(cè)為a_n,我的理解：數(shù)位dp就是一種優(yōu)化的統(tǒng)計(jì)的方式，因?yàn)槲覀冇?jì)算的是1~n中所有滿足答案的情況，那統(tǒng)計(jì)的x一定要小于等于n，我們將n拆成各位，我們從高位向低位枚舉時(shí)，假如說n是7854，我們將n拆成開，就是4位，從高到低分別是7，8，5，4，我們?cè)诿杜e第一位（最高位時(shí)），最高位如果我們枚舉0 ~ 6，那么后三位可以是任意數(shù)，因?yàn)榭隙ū?854小，對(duì)不對(duì)，然后統(tǒng)計(jì)這部分答案。如果我們枚舉是7，那你后三位不能隨便枚舉，如果你第二位枚舉9，那就超出范圍了，為了避免超出范圍，如果我們第一位枚舉7，那我們就看第二位，第二位的上限是8，那我們就枚舉 0 ~ 7 ，這樣后兩位就可以隨便枚舉，統(tǒng)計(jì)答案，然后我們第二位取上限8，再往后推一位。。。依次類推，終點(diǎn)就是我們推到7854，就是n本身（我們?cè)谕频倪^程中是加了判斷條件，如果不滿足條件就break，如果能推到最后，說明最終這個(gè)n也是滿足條件的）。這樣說不知道能不能理解

代碼：

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 35; //位數(shù)int f[N][N];// f[a][b]表示從a個(gè)數(shù)中選b個(gè)數(shù)的方案數(shù)，即組合數(shù)int K, B; //K是能用的1的個(gè)數(shù)，B是B進(jìn)制//求組合數(shù)：預(yù)處理 void init(){for(int i=0; i< N ;i ++)for(int j =0; j<= i ;j++)if(!j) f[i][j] =1;else f[i][j] =f[i-1][j] +f[i-1][j-1]; }//求區(qū)間[0,n]中的 “滿足條件的數(shù)” 的個(gè)數(shù)//“滿足條件的數(shù)”是指：一個(gè)數(shù)的B進(jìn)制表示，其中有K位是1、其他位全是0 int dp(int n){if(n == 0) return 0; //如果上界n是0，直接就是0種vector<int> nums; //存放n在B進(jìn)制下的每一位//把n在B進(jìn)制下的每一位單獨(dú)拿出來while(n) nums.push_back( n% B) , n/= B;int res = 0;//答案：[0,n]中共有多少個(gè)合法的數(shù)//last在數(shù)位dp中存的是：右邊分支往下走的時(shí)候保存前面的信息 //遍歷當(dāng)前位的時(shí)候，記錄之前那些位已經(jīng)占用多少個(gè)1，那么當(dāng)前還能用的1的個(gè)數(shù)就是K-lastint last = 0; //從最高位開始遍歷每一位for(int i = nums.size()-1; i>= 0; i--){int x = nums[i]; //取當(dāng)前位上的數(shù)if(x>0){ //只有x>0的時(shí)候才可以討論左右分支//當(dāng)前位填0，從剩下的所有位（共有i位）中選K-last個(gè)數(shù)。//對(duì)應(yīng)于：左分支中0的情況，合法res += f[i][ K -last];//i個(gè)數(shù)中選K-last個(gè)數(shù)的組合數(shù)是多少，選出來這些位填1，其他位填0if(x > 1){//當(dāng)前位填1，從剩下的所有位（共有i位）中選K-last-1個(gè)數(shù)。//對(duì)應(yīng)于：左分支中填1的情況，合法if(K - last -1 >= 0) res += f[i][K -last -1];//i個(gè)數(shù)中選K-last-1個(gè)數(shù)填1的組合數(shù)是多少//對(duì)應(yīng)于：左分支中其他情況（填大于1的數(shù)）和此時(shí)右分支的情況（右側(cè)此時(shí)也>1），不合法！！！直接break。break;}//上面統(tǒng)計(jì)完了**左分支**的所有情況，和右分支大于1的情況，//這個(gè)else 是x==1，//對(duì)應(yīng)于：右分支為1的情況，即限定值為1的情況，也就是左分支只能取0//此時(shí)的處理是，直接放到下一位來處理//只不過下一位可使用的1的個(gè)數(shù)會(huì)少1，體現(xiàn)在代碼上是last+1else if(x==1)//相當(dāng)于限定值為1 {last ++;//如果已經(jīng)填的個(gè)數(shù)last > 需要填的個(gè)數(shù)K，不合法breakif(last > K) break;}}//上面處理完了這棵樹的**所有**左分支，就剩下最后一種右分支的情況// 也就是遍歷到最后1位，在vector中就是下標(biāo)為0的地方：i==0；// 并且最后1位取0，才算作一種情況res++。因?yàn)樽詈?位不為0的話，已經(jīng)被上面的ifelse處理了。if(i==0 && last == K) res++; }return res; }int main(){init();int l,r;cin >> l >> r >> K >>B;cout<< dp(r) - dp(l-1) <<endl; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Acwing 1081. 度的数量（以及本人对数位dp的浅薄理解）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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