CF938E Max History

題意：

我們定義f(a)為：

1、開始時，f(a)=0,M=1。

2、對于每個2<=i<=n,如果a[M]<a[i],那么f(a)=f(a)+a[M],M=i。

現(xiàn)在對于一個給定的數(shù)組a，求其所有排列的f(a)之和，答案對1e9+7取模。

題解：

計數(shù)問題，組合數(shù)推導
經(jīng)常用的組合恒等式：
$k?C_n^k=n?C_{n?1}^{k?1}$
$C_k^n?C_m^k=C_m^n?C_{m?n}^{m?k}(m?k<m?n)$
${\sum }_{i=0}^n{C}_n^i=2^n$
${\sum }_{k=0}^n?(?1{)}^k{C}_n^k=0$
$C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$
${\sum }_{k=0}^m{C}_{n+k}^k=C_{n+m+1}^m$
范德蒙德卷積：
${\sum }_{i=0}^k{C}_n^i{C}_m^{k?i}=C_{n+m}^k$

代碼：

#include<bits/stdc++.h> #define mod 1000000007 const int maxn = 1000035;int n,ans,cnt,a[maxn],fac[maxn],inv[maxn];int read() {char ch = getchar();int num = 0, fl = 1;for (; !isdigit(ch); ch=getchar())if (ch=='-') fl = -1;for (; isdigit(ch); ch=getchar())num = (num<<1)+(num<<3)+ch-48;return num*fl; } int main() {n = read();for (int i=1; i<=n; i++) a[i] = read();std::sort(a+1, a+n+1);fac[0] = fac[1] = inv[0] = inv[1] = 1;for (int i=2; i<=n+2; i++){inv[i] = mod-1ll*(mod/i)*inv[mod%i]%mod,fac[i] = 1ll*fac[i-1]*i%mod;}for (int i=1,j; i<=n; i=j+1){for (j=i; a[j+1]==a[i]; j++);//J為 if (j==n) break;//i-1是嚴格比他小的數(shù) //n-j是嚴格大于他的數(shù) //j-i+1是與a[i]一樣大的數(shù)量 cnt = inv[n-i+1];ans = (1ll*ans+1ll*a[i]*(j-i+1)%mod*cnt%mod)%mod;}printf("%d\n",1ll*ans*fac[n]%mod);return 0; }

總結

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