Sumdiv POJ - 1845

題意：

求$A^B$的所有約數之和mod 9901(1<=A,B<=5e7)

題解：

我們先將A分解質因子，表示為：$p_1^{c_1}?p_2^{c_2}?......?p_n^{c_n}$
約數之和我們是有公式的：
A的約數和是：$(1+p_1+p_1^2+....+p_1^{c_1})?....?(1+p_n+p_n^2+....+p_n^{c_n})$
$A^B$的所有約數之和為：
$(1+p_1+p_1^2+....+p_1^{B?c_1})?....?(1+p_n+p_n^2+....+p_n^{B?c_n})$
不難發現，每一項都是一個等比序列，我們用等比序列求和，$(1+p_1+p_1^2+....+p_1^{B?c_1})=(p_1^{B?c_1+1}?1)/(p_1?1)$
對于分子分母我們分開求，用快速冪求即可，分母逆元
但是這樣并沒有結束，什么時候b的逆元是$b^{p?2}$,當p是質數且b與m互質時，本題中9901是質數，但是$p_1?1$有可能是9901的倍數，此時乘法逆元就不存在。這種情況特判，此時$(1+p_1+p_1^2+....+p_1^{B?c_1})\equiv 1+1+1^2+...+1^{B?c_1}\equiv B?c_1+1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9901)$

代碼：

// Problem: Sumdiv // Contest: Virtual Judge - POJ // URL: https://vjudge.net/problem/POJ-1845 // Memory Limit: 30 MB // Time Limit: 1000 ms // Data:2021-08-26 14:17:14 // By Jozky#include <cmath> #include <cstdio> #include <ctime> #include <iostream> // #include <unordered_map> #define debug(a, b) printf("%s = %d\n", a, b); using namespace std; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef pair<int, int> PII; clock_t startTime, endTime; //Fe~Jozky const ll INF_ll= 1e18; const int INF_int= 0x3f3f3f3f; void read(){}; template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar) {x= 0;char c= getchar();bool flag= 0;while (c < '0' || c > '9')flag|= (c == '-'), c= getchar();while (c >= '0' && c <= '9')x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();if (flag)x= -x;read(Ar...); } template <typename T> inline void write(T x) {if (x < 0) {x= ~(x - 1);putchar('-');}if (x > 9)write(x / 10);putchar(x % 10 + '0'); } void rd_test() { #ifdef LOCALstartTime= clock();freopen("in.txt", "r", stdin); #endif } void Time_test() { #ifdef LOCALendTime= clock();printf("\nRun Time:%lfs\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC); #endif } int a, b, m, ans= 1; const int mod= 9901; int p[20], c[20]; void divide(int n) {m= 0;for (int i= 2; i <= sqrt(n); i++) {if (n % i == 0) {p[++m]= i;c[m]= 0;while (n % i == 0) {n/= i;c[m]++;}}}if (n > 1) {p[++m]= n;c[m]= 1;} } ll poww(ll a, ll b) {ll ans= 1;while (b) {if (b & 1)ans= ans * a % mod;a= a * a % mod;b>>= 1;}return ans; } int main() {//rd_test();cin >> a >> b;divide(a);for (int i= 1; i <= m; i++) {if ((p[i] - 1) % mod == 0) {ans= ((1ll * b * c[i] + 1) % mod) * ans % mod;continue;}int x= poww(p[i], 1ll * b * c[i] + 1); //分子x= (x - 1 + mod) % mod;int y= p[i] - 1; //分母y= poww(y, mod - 2);ans= 1ll * ans * x % mod * y % mod;}cout << ans << endl;//Time_test(); }

總結

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