數據結構（終極線段樹篇）

摘要：

問題的提出：如何解決多樣化的區間操作問題？

solve：線段樹！！！

關鍵字：

線段樹，可持久化線段樹，權值線段樹，線段樹森林，動態開點線段樹，區間操作，線段樹應用。

前言：

區間操作問題的解決方法極多，如：樹狀數組，RMQ等。

所有這些數據結構都具有一定的局限性，都具有各自的優勢和劣勢。

而線段樹無疑是這些數據結構中性價比最高的數據結構！（Ps：搞什么線段樹，暴力出奇跡啊！）

線段樹，線段樹，線段樹。

顧名思義：樹上每一個節點表示一個線段（區間），每一次對一整個線段（區間）進行操作，棒棒。

? ? ? ? 第1節講述了線段樹的基本性質。

? ? ? ? 第2節實現了基本線段樹。

? ? ? ? 第3節講述動態開點線段樹。

? ? ? ? 第4節講述權值線段樹。

? ? ? ? //第5節講述線段樹森林。

? ? ? ? //第6節講述線段樹的重要應用和例題。

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1.線段樹的基本性質：

?? ? ? ?1.0基本線段樹的性質：

? ? ? ? ? ?1.每個節點u表示一個區間[l,r]。若節點u非葉子節點，則u有兩個兒子。設（mid=（l+r）/2）。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 左兒子為[l,mid]，節點編號為u*2。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 右兒子為[mid+1,r]，節點編號為u*2+1。

? ? ? ? ? ? 2.線段樹的深度為O(lgn)

? ? ? ? ? ? 3.線段樹的節點個數為O（n），常數約為4。

? ? ? ? ? ? 4.線段樹上任意一個區間[l,r]都可以被O（logn）個線段覆蓋。

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? ? ? ? ? ? ?思考：為何左兒子不為[l,mid+1]，為何左兒子的節點編號為u*2。

? ? ? ? ? ? ?思考：如何證明線段樹的節點個數為O（n），且常數為4。

? ? ? ? ? ? ?思考：如何證明線段樹上任意一個區間[l,r]都可以被O（logn）個線段覆蓋。

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倘若我們只需要單點修改，我們只需要找到相應的葉子節點，更改葉子節點并沿路更新。

但倘若我們需要區間修改，我們卻需要引入lazy tag（懶惰標記）。

每一次操作都先下放懶標記，清空標記，再進行相應的操作。

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如上圖：若將[1,5]全加上3。

需要標記tag[1,5]=3，下一次操作到[1,5]時下放。

tag[1,3]=3,tag[4,5]=3,tag[1,5]=0,sum[1,5]+=3*5；

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2.基本線段樹的實現：

? ? ? ? 2.1基本線段樹的區間加，詢問區間和：

#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; const int MAXN=1000005; ll a[MAXN]; ll read() {char c=getchar(); ll f=1,x=0;while (!isdigit(c)) {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}while (isdigit(c)) {x=x*10+c-'0'; c=getchar();}return f*x; } struct Segment_tree {struct node{int l,r;ll sum,tag;} tree[MAXN<<2];void up(int x){ tree[x].sum=tree[x<<1].sum+tree[(x<<1)|1].sum; }void down(int x){int num1=(tree[x<<1].r-tree[x<<1].l+1);int num2=(tree[(x<<1)|1].r-tree[(x<<1)|1].l+1);tree[(x<<1)|1].sum+=tree[x].tag*num2; tree[x<<1].tag+=tree[x].tag; tree[(x<<1)|1].tag+=tree[x].tag; tree[x<<1].sum+=tree[x].tag*num1; tree[x].tag=0;}void build(int x,int l,int r,ll *a){tree[x].l=l;tree[x].r=r;if (l==r){tree[x].sum=a[l];tree[x].tag=0;return;}int mid=(l+r)>>1;build(x<<1,l,mid,a);build((x<<1)|1,mid+1,r,a);up(x);}void change(int x,int l,int r,ll y){if (tree[x].l>=l&&tree[x].r<=r){tree[x].tag+=y;tree[x].sum+=y*(tree[x].r-tree[x].l+1);return;}down(x);int mid=(tree[x].l+tree[x].r)>>1;if (r<=mid) change(x<<1,l,r,y);else if (l>mid) change((x<<1)|1,l,r,y);else {change(x<<1,l,mid,y);change((x<<1)|1,mid+1,r,y);}up(x);}ll query(int x,int l,int r){if (tree[x].l>=l&&tree[x].r<=r) return tree[x].sum;down(x);int mid=(tree[x].l+tree[x].r)>>1;if (r<=mid) return query(x<<1,l,r);else if (l>mid) return query((x<<1)|1,l,r);else return query(x<<1,l,mid)+query((x<<1)|1,mid+1,r);}void print(int x){for (int i=1;i<=x;i++) printf("%d %d %d\n",tree[i].l,tree[i].r,tree[i].sum);printf("\n");} } segment_tree; int main() {int n=read(),m=read();for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();segment_tree.build(1,1,n,a);for (int i=1;i<=m;i++){int c=read();if (c==1){int x=read(),y=read(),z=read();segment_tree.change(1,x,y,z);}else{int x=read(),y=read();printf("%lld\n",segment_tree.query(1,x,y));}}return 0; }

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3.動態開點線段樹

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動態開點線段樹，實現單點加，區間求和。

#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; const int MAXN=1000005; const int MAXS=1e9; ll read() {char c=getchar(); ll f=1,x=0;while (!isdigit(c)) {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}while (isdigit(c)) {x=x*10+c-'0'; c=getchar();}return f*x; } struct Dynamic_segment_tree {int nodenum=0;struct node{int l,r,leftnode,rightnode;ll sum;} tree[MAXN<<2];void change(int &x,int l,int r,int t,ll y){if (!x){nodenum++;x=nodenum;}tree[x].l=l;tree[x].r=r;tree[x].sum+=y;if (l==r) return;int mid=(tree[x].l+tree[x].r)>>1;if (t<=mid) change(tree[x].leftnode,l,mid,t,y);else change(tree[x].rightnode,mid+1,r,t,y);}ll query(int x,int l,int r){if (!x) return 0;if (tree[x].l>=l&&tree[x].r<=r) return tree[x].sum;int mid=(tree[x].l+tree[x].r)>>1;if (r<=mid) return query(tree[x].leftnode,l,r);else if (l>mid) return query(tree[x].rightnode,l,r);else return query(tree[x].leftnode,l,mid)+query(tree[x].rightnode,mid+1,r);}void print(int x){for (int i=1;i<=x;i++) printf("%d %d %d %d %d\n",tree[i].l,tree[i].r,tree[i].leftnode,tree[i].rightnode,tree[i].sum);printf("\n");} } dynamic_segment_tree; int main() {int n=read(),m=read(),root=0;for (int i=1;i<=m;i++){int c=read(),x=read(),y=read();if (c==1) dynamic_segment_tree.change(root,1,MAXS,x,y);else printf("%d\n",dynamic_segment_tree.query(root,x,y));//dynamic_segment_tree.print(20);}return 0; }

4.權值線段樹

權值線段樹，就是每一個線段樹的葉子節點記錄一種值的信息，常用于記錄區間內某權值的出現個數。

這和一般的線段樹差不多，只是節點的意義不同。

例題：求逆序對個數

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未完待續

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构（终极线段树篇）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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