斜率優(yōu)化

一、簡單DP

首先從一道簡單題引入。

[IOI2002]任務(wù)安排

Description

N個任務(wù)排成一個序列在一臺機(jī)器上等待完成（順序不得改變），這N個任務(wù)被分成若干批，每批包含相鄰的若干任務(wù)。從時刻0開始，這些任務(wù)被分批加工，第i個任務(wù)單獨完成所需的時間是Ti。在每批任務(wù)開始前，機(jī)器需要啟動時間S，而完成這批任務(wù)所需的時間是各個任務(wù)需要時間的總和（同一批任務(wù)將在同一時刻完成）。每個任務(wù)的費用是它的完成時刻乘以一個費用系數(shù)ci。請確定一個分組方案，使得總費用最小。

例如：S=1；T={1,3,4,2,1}；F={3,2,3,3,4}。如果分組方案是{1,2}、{3}、{4,5}，則完成時間分別為{5,5,10,14,14}，費用C={15,10,30,42,56}，總費用就是153。

Input

第一行是N(1＜=N＜=5000)。

第二行是S(0＜=S＜=50)。

下面N行每行有一對數(shù)，分別為Ti和ci，均為不大于100的正整數(shù)，表示第i個任務(wù)單獨完成所需的時間是Ti及其費用系數(shù)ci。

Output

一個數(shù)，最小的總費用。

Sample Input

5

1

1 3

3 2

4 3

2 3

1 4

Sample Output

153

Solution

“光著身子”的動態(tài)規(guī)劃。

設(shè)F[i,j]表示劃分前i個任務(wù)為j批的最小費用。

?? ? ? ? ? ? ? ??

，時間復(fù)雜度：，空間復(fù)雜度：

這顯然是不夠的。

?

實際上我們不一定要知道之前劃分了多少批任務(wù)，只需要記錄F[i]表示劃分前i個任務(wù)的最小費用。

這樣就寫出了動態(tài)規(guī)劃方程。

二、簡單題2

將上題的n<=5000改為n<=300000。

Solution

這就是本文的重點所在了。

在上文中的動態(tài)規(guī)劃中，尚有兩種簡單的優(yōu)化思路：

優(yōu)化狀態(tài)：將這樣一個動態(tài)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為貪心或數(shù)學(xué)題。

優(yōu)化轉(zhuǎn)移：優(yōu)化轉(zhuǎn)移的時間（主要為優(yōu)化重復(fù)或不必要的轉(zhuǎn)移）。

顯然，優(yōu)化狀態(tài)很難達(dá)成，那么我們考慮優(yōu)化轉(zhuǎn)移。

我們可以發(fā)現(xiàn)在轉(zhuǎn)移的過程中有很多的不必要的轉(zhuǎn)移：

考慮一下兩個轉(zhuǎn)移:

在此題中，若?

那么轉(zhuǎn)移 j 就是不必要的。

也就是說，若有且選取轉(zhuǎn)移狀態(tài)的集合

并且存在，后面的轉(zhuǎn)移比前面的優(yōu)，則前面的轉(zhuǎn)移就是無意義的，也就是對最終答案無貢獻(xiàn)的了。

?

考慮本題，如何判斷轉(zhuǎn)移狀態(tài)是否是有用的呢？

也就是說，如果?

那么后面的轉(zhuǎn)移比前面的優(yōu)，否則前面的轉(zhuǎn)移比后面的優(yōu)。

這樣的，即是用斜率的形式，表現(xiàn)了轉(zhuǎn)移之間的不必要的關(guān)系。

?

進(jìn)一步，我們發(fā)現(xiàn)：

也就是說，如果當(dāng)前存在后面的轉(zhuǎn)移比前面的優(yōu)，那么這個轉(zhuǎn)移在之后的狀態(tài)中都不會成為最有轉(zhuǎn)移！

根據(jù)這個性質(zhì)，我們選擇用單調(diào)隊列維護(hù)一個兩點間斜率單調(diào)遞增的點集隊列。

設(shè)：

若有??，則的轉(zhuǎn)移必然不會是最優(yōu)的，于是能夠?qū)⑺鼊h除。（維護(hù)隊尾）

若有， ? ? ? ?則x1的轉(zhuǎn)移必然不會是最優(yōu)的，于是能夠?qū)⑺鼊h除。 （維護(hù)隊首）

最后的點集隊列滿足：在隊首的點的轉(zhuǎn)移必然是最優(yōu)的。

于是

將轉(zhuǎn)移化為，動態(tài)規(guī)劃完成。

三、簡單題3

若 ? -512<=t[i]<=512 ，也就是說：

? ??不再成立怎么辦呢？

我們發(fā)現(xiàn)：

若有??，則的轉(zhuǎn)移必然不會是最優(yōu)的，于是能夠?qū)⑺鼊h除。（維護(hù)隊尾）

這一性質(zhì)依然成立，那么這個點集集合還是會組成一個相鄰點斜率遞增的單調(diào)隊列。

有 ??

發(fā)現(xiàn)：

如果，那么優(yōu)于。

如果，那么優(yōu)于。

也就是說，答案一定存在于一個點，使得???且???

那么必然最優(yōu)。

我們可以維護(hù)單調(diào)隊列，只在隊尾刪除，每次二分查詢一個最優(yōu)點。

這樣便是的斜率優(yōu)化做法。

?

四、簡單題4

一種形式斜率優(yōu)化的形式：

隊列中的點不滿足單調(diào)性。

BZOJ1492: [NOI2007]貨幣兌換Cash

題目描述：詳見BZOJ。

這一題就是典型的例子。

斜率不單調(diào)，那么就必須用cdq分治或splay維護(hù)斜率凸包解決斜率優(yōu)化問題了。

下次有時間再補(bǔ)充。。。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的斜率优化Convex Hull Trick的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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