CF1178H Stock Exchange

題目描述

簡要題意：給定$2n$個一次函數$y=a_{i}x+b_i(a,b>0)$，剛開始你有前$n$個函數各一個，在任意時刻$t$，$x$函數可以轉換為$y$函數當且僅當$a_{x}t+b_x>=a_{y}t+b_y$，最后要獲得$n+1...2n$的函數各一個，求完成時刻最小的前提下轉換次數的最小值。

Solution

顯然最后的方案需要$1...n$和$n+1...2n$形成完美匹配。
有一個重要的性質：
一定存在一個最優方案使得每一個匹配的中轉點唯一，且只在$0$時刻和$t$時刻進行交換。（顯然對于某一匹配$x?>y$的轉化方案$\{x,z_1,z_2...z_k,y\}$來說，最多只需要取$x$,$y$,和一個$\{z_1...z_k\}$中斜率最大的$z_{maxa}$即可）

因此對于第一問，考慮二分答案完成時刻$t$，每一個$1..n$的函數在$0$時刻先貪心地轉化為能轉化的在$t$時刻最大的函數作為中轉點，然后再考慮$t$時刻時能否通過這些最優中轉點匹配出所有的$n+1...2n$的函數。

對于第二問，考慮費用流，把每一個點$i$拆成$i$和$i+2n$，從$S$向$1..n$連一條$(flow=1,cost=0)$的邊，從$n+1...2n$向$T$連一條$(1,0)$的邊，從$i$向$i+2n$連一條$(INF,0)$的邊，然后對于能在$0$時刻轉化的$i?>j$，連一條$(INF,1)$的邊,在$t$時刻也做一次這樣的操作。

但是這樣的邊數是$O(n^2)$，超過了$16M$的空間限制。
我們發現對于$i$來說，它可以轉化的點是一段按$b_i$排序的前綴，所以不需要每個$i?>j$都連邊了。

設排序之后的編號$i{d}_i$，新建$i+4n$的點，從$i{d}_i+4n$向$i{d}_{i?1}+4n$連一條$(INF,0)$的邊，再從$i{d}_i$向$i{d}_i+4n$連一條$(INF,1)$的邊。

這樣一來，$i?>j$就可以通過一層一層的價格下降得到了。然后對于$i+2n$的點也新建$i+6n$按上述方法連邊即可。

Code

#include <vector> #include <list> #include <map> #include <set> #include <deque> #include <queue> #include <stack> #include <bitset> #include <algorithm> #include <functional> #include <numeric> #include <utility> #include <sstream> #include <iostream> #include <iomanip> #include <cstdio> #include <cmath> #include <cstdlib> #include <cctype> #include <string> #include <cstring> #include <ctime> #include <cassert> #include <string.h> //#include <unordered_set> //#include <unordered_map> //#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B) #define PB(A) push_back(A) #define SIZE(A) ((int)A.size()) #define LEN(A) ((int)A.length()) #define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i) #define fi first #define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; } template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef long double lod; typedef pair<int,int> PR; typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11; const lod pi=acos(-1); const int oo=1<<30; const ll loo=1ll<<62; const int mods=998244353; const int MAXN=4405; const int MAXM=MAXN<<6; const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567 /*--------------------------------------------------------------------*/ inline int read() {int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f; } queue<int> que; ll c[MAXN],to[MAXN]; pair<ll,ll> a[MAXN]; int n,nn,vnum,edgenum=1,id0[MAXN],idt[MAXN],t,S,T; int flow[MAXN<<2],dist[MAXN<<2],vis[MAXN<<2]; int head[MAXN<<2],pre[MAXN<<2],from[MAXN<<2]; struct enode{ int to,nxt,f,c; } e[MAXM];int compare0(int x,int y) { return (a[x].se<a[y].se)||(a[x].se==a[y].se&&a[x].fi>a[y].fi); } int comparet(int x,int y) { return a[x].fi*t+a[x].se<a[y].fi*t+a[y].se; } bool check(int x) {t=x;for (int i=1;i<=nn;i++) c[i]=a[i].fi*t+a[i].se;for (int i=1,k=1;i<=nn;i++){if (c[id0[i]]>c[id0[k]]) k=i;to[id0[i]]=c[id0[k]];}sort(to+1,to+n+1);if (t==1e9)for (int i=1;i<=nn;i++) cout<<id0[i]<<endl;sort(idt+1,idt+nn+1,comparet);for (int i=1,now=1;i<=nn;i++) {if (idt[i]<=n) continue;if (to[now]<c[idt[i]]) return 0;else now++;}return 1; } int solve1() {int l=0,r=1e9;while (l<r){int mid=(l+r)>>1;if (check(mid)) r=mid;else l=mid+1;}return r; }void add(int u,int v,int f,int c) { // cout<<u<<" "<<v<<" "<<f<<" "<<c<<endl;e[++edgenum]=(enode){v,head[u],f, c},head[u]=edgenum;e[++edgenum]=(enode){u,head[v],0,-c},head[v]=edgenum; } void build() //這里把值相同的i+4n合并成了一個點,效果相同,空間壓縮之后會更小一些,i+6n同理。 {S=nn<<1|1,T=vnum=S+1;for (int i=1;i<=n;i++) add(S,i,1,0);for (int i=n+1;i<=nn;i++) add(i+nn,T,1,0);for (int i=1;i<=nn;i++) add(i,i+nn,INF,0);for (int i=1;i<=nn;i++) c[i]=a[i].se;for (int i=1,j;i<=nn;i=j+1){j=i,vnum++;while (c[id0[i]]==c[id0[j+1]]) j++;for (int k=i;k<=j;k++) add(id0[k],vnum,INF,1),add(vnum,id0[k],INF,0);if (i>1) add(vnum,vnum-1,INF,0);}for (int i=1;i<=nn;i++) c[i]=a[i].fi*t+a[i].se;for (int i=1,j;i<=nn;i=j+1){j=i,vnum++;while (c[idt[i]]==c[idt[j+1]]) j++;for (int k=i;k<=j;k++) add(idt[k]+nn,vnum,INF,1),add(vnum,idt[k]+nn,INF,0);if (i>1) add(vnum,vnum-1,INF,0);} }int bfs() {for (int i=1;i<=vnum;i++) dist[i]=INF,flow[i]=vis[i]=0;dist[S]=0,flow[S]=INF,vis[S]=1,que.push(S);while (!que.empty()){int u=que.front(); que.pop(); // cout<<u<<":"<<dist[u]<<" "<<flow[u]<<endl;for (int i=head[u];i;i=e[i].nxt){int v=e[i].to,f=e[i].f,c=e[i].c;if (!f||dist[u]+e[i].c>=dist[v]) continue;pre[v]=u,from[v]=i;flow[v]=min(flow[u],f);dist[v]=dist[u]+e[i].c;if (!vis[v]) vis[v]=1,que.push(v);}vis[u]=0;}return flow[T]; } int MCMF() {int ans=0;while (bfs()){ans+=dist[T]*flow[T];for (int p=T;p!=S;p=pre[p])e[from[p]].f-=flow[T],e[from[p]^1].f+=flow[T];}return ans; } int main() {n=read(),nn=n+n;for (int i=1;i<=nn;i++) a[i].fi=read(),a[i].se=read(),id0[i]=idt[i]=i;sort(id0+1,id0+nn+1,compare0);t=solve1();if (!check(t)) { puts("-1"); return 0; } printf("%d ",t);sort(idt+1,idt+nn,comparet);build();int ans=MCMF();printf("%d\n",ans);return 0; }

總結

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