Loj #6077. 「2017 山東一輪集訓 Day7」逆序對

Solution

令$f_{i,j}$表示前$i$個數產生$j$個逆序對的方案數，每次考慮把$i+1$加入，有$i+1$個插入位置分別產生$0..i$個新的逆序對。

因此$f_n$的生成函數為$(1+x)(1+x+x^2)\dots (1+x+\dots x^{n?1})$
即$f_n=\frac{(1?x)(1?x^2)\dots (1?x^n)}{(1?x{)}^n}$

$\frac{1}{(1?x{)}^n}$的冪級數為${\sum }_i\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+i?1}{i}\right)$，于是只需要考慮分子的系數。

我們只需要求出$x^0\dots x^k$的系數，因此我們至多會選擇$O(\sqrt{k})$個$?x^i$，于是考慮$dp$，令$f_{i,j}$表示$i$個數總和為$j$，最大數不超過$n$的方案數，每次可以整體加$1$或者添加一個$"1"$之后再加$1$，有：
$$f_{i,j}=f_{i,j?i}+f_{i?1,j?1}?f_{i?1,j?n?1}$$

這里的$?f_{i?1,j?n?1}$是因為這些數可能會超過$n$，因此我們要把超過$n$的去掉，也就是需要去掉存在$n+1$的不合法方案。

到這里就可以合并兩個冪級數求出答案了，注意原式中是$?x^i$，因此系數要乘上一個$(?1{)}^i$。

時間復雜度$O(k\sqrt{k})$

Code

#include <vector> #include <list> #include <map> #include <set> #include <deque> #include <queue> #include <stack> #include <bitset> #include <algorithm> #include <functional> #include <numeric> #include <utility> #include <sstream> #include <iostream> #include <iomanip> #include <cstdio> #include <cmath> #include <cstdlib> #include <cctype> #include <string> #include <cstring> #include <ctime> #include <cassert> #include <string.h> //#include <unordered_set> //#include <unordered_map> //#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B) #define PB(A) push_back(A) #define SIZE(A) ((int)A.size()) #define LEN(A) ((int)A.length()) #define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i) #define fi first #define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; } template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef long double lod; typedef pair<int,int> PR; typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11; const lod pi=acos(-1); const int oo=1<<30; const ll loo=1ll<<62; const int mods=1e9+7; const int MAXN=200005; const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567 /*--------------------------------------------------------------------*/ inline int read() {int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f; } int fac[MAXN],inv[MAXN],g[505][MAXN]; int upd(int x,int y) { return x+y>=mods?x+y-mods:x+y; } int quick_pow(int x,int y) {int ret=1;for (;y;y>>=1){if (y&1) ret=1ll*ret*x%mods;x=1ll*x*x%mods;}return ret; } int C(int x,int y) { return 1ll*fac[x]*inv[y]%mods*inv[x-y]%mods; } void Init(int n) {fac[0]=1;for (int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mods;inv[n]=quick_pow(fac[n],mods-2);for (int i=n-1;i>=0;i--) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mods; } signed main() {int n=read(),k=read(),sz=sqrt(k*2)+10; Init(n+k);g[0][0]=1;for (int i=1;i<=sz;i++)for (int j=i;j<=k;j++) g[i][j]=upd(upd(g[i][j-i],g[i-1][j-i]),mods-(j>=n+1?g[i-1][j-n-1]:0));int ans=0;for (int i=0;i<=sz;i++) for (int j=0;j<=k;j++) if (i&1) ans=upd(ans,mods-1ll*C(n+j-1,j)*g[i][k-j]%mods);else ans=upd(ans,1ll*C(n+j-1,j)*g[i][k-j]%mods);printf("%d\n",ans);return 0; }

總結

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