ARC079F - Namori Grundy

Solution

首先這是一個$N$個點$N$條邊的有向圖，所以它的基圖是一棵基環(huán)樹，其次這個圖的所有點入度為$1$，因此這是一棵基環(huán)外向樹。

然后對于$a_i$，假設我們求出$S=\{a_j|(i,j)\in E\}$，即$i$的所有出邊的$a$的集合，那么顯然$a_i=mexS$，$a_i$的值是可以通過其出邊唯一確定的。

我們先考慮一棵樹的情況，我們發(fā)現(xiàn)葉子結點必然為$0$，因此每一個結點$i$的$a_i$都可以從下到上通過其兒子結點遞推得到。

現(xiàn)在考慮基環(huán)樹，對于環(huán)上一點，我們可以通過它的子樹唯一確定去掉環(huán)時它的$a$，然后可以發(fā)現(xiàn)當且僅當環(huán)長為奇數(shù)且環(huán)上結點的$a$都相等時無解。

然后直接找到環(huán)，遞推求出每一個$a$，判一判就行了。

時間復雜度$O(n)$。

Proof

現(xiàn)在我們可以把子樹點都扔掉，只考慮一個$k$元環(huán)。
我們設環(huán)上點依次為$0,1,2...k?1$，$(i+1,i)\in E$，（之后的下標都在模$k$意義下）。

若$a_{i+1}$要加$1$，當且僅當$a_{i+1}=a_i$。

因為環(huán)上點出度為$1$，一個點最多加$1$。

首先我們不會讓所有點都加$1$，因為這和所有點不變一樣，所以若存在方案，一定有一種有至少一個點$p$不動的方案。

如果我們知道$p$，那么我們可以從$p$開始判斷$a_p$是否等于$a_{p+1}$，若相等則$a_{p+1}+1$。

我們令一段連續(xù)的$+1$的下標區(qū)間為$[l+1,r]$，顯然有$a_l=a_{l+1},a_{l+1}+1=a_{l+2},a_{l+2}+1=a_{l+3}...$，因此這段$a$一定是$a_l,a_l,a_l+1,a_l+2...a_l+(r?l?1)$，點$l$不動且為其中的最小值。

所以我們有結論：若能找到一個$i$，使得$a_i=a_{i?1}$且${?}_j{a}_i\le a_j$，$i$可以作為$p$，方案存在。

那么最后還剩下找不到$i$的環(huán)，其上的點必然是所有$a$相等的，這個就很容易考慮了，因為所有點都等價，所以可以任取一個作為$p$，最后的序列一定長成$a_p,a_p+1,a_p,a_p+1,a_p,a_p+1...$的形式。

這就相當于一個二分圖染色，只有當$k$為奇數(shù)時，存在相鄰兩個$a$相等，不合法；當$a$為偶數(shù)時存在合法方案。

綜上，當且當且僅當環(huán)長為奇數(shù)且環(huán)上結點的$a$都相等時無解。

Code

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的ARC079F - Namori Grundy(构造，基环树)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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