ARC079F - Namori Grundy

Solution

首先這是一個(gè)$N$個(gè)點(diǎn)$N$條邊的有向圖，所以它的基圖是一棵基環(huán)樹，其次這個(gè)圖的所有點(diǎn)入度為$1$，因此這是一棵基環(huán)外向樹。

然后對(duì)于$a_i$，假設(shè)我們求出$S=\{a_j|(i,j)\in E\}$，即$i$的所有出邊的$a$的集合，那么顯然$a_i=mexS$，$a_i$的值是可以通過其出邊唯一確定的。

我們先考慮一棵樹的情況，我們發(fā)現(xiàn)葉子結(jié)點(diǎn)必然為$0$，因此每一個(gè)結(jié)點(diǎn)$i$的$a_i$都可以從下到上通過其兒子結(jié)點(diǎn)遞推得到。

現(xiàn)在考慮基環(huán)樹，對(duì)于環(huán)上一點(diǎn)，我們可以通過它的子樹唯一確定去掉環(huán)時(shí)它的$a$，然后可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)長為奇數(shù)且環(huán)上結(jié)點(diǎn)的$a$都相等時(shí)無解。

然后直接找到環(huán)，遞推求出每一個(gè)$a$，判一判就行了。

時(shí)間復(fù)雜度$O(n)$。

Proof

現(xiàn)在我們可以把子樹點(diǎn)都扔掉，只考慮一個(gè)$k$元環(huán)。
我們?cè)O(shè)環(huán)上點(diǎn)依次為$0,1,2...k?1$，$(i+1,i)\in E$，（之后的下標(biāo)都在模$k$意義下）。

若$a_{i+1}$要加$1$，當(dāng)且僅當(dāng)$a_{i+1}=a_i$。

因?yàn)榄h(huán)上點(diǎn)出度為$1$，一個(gè)點(diǎn)最多加$1$。

首先我們不會(huì)讓所有點(diǎn)都加$1$，因?yàn)檫@和所有點(diǎn)不變一樣，所以若存在方案，一定有一種有至少一個(gè)點(diǎn)$p$不動(dòng)的方案。

如果我們知道$p$，那么我們可以從$p$開始判斷$a_p$是否等于$a_{p+1}$，若相等則$a_{p+1}+1$。

我們令一段連續(xù)的$+1$的下標(biāo)區(qū)間為$[l+1,r]$，顯然有$a_l=a_{l+1},a_{l+1}+1=a_{l+2},a_{l+2}+1=a_{l+3}...$，因此這段$a$一定是$a_l,a_l,a_l+1,a_l+2...a_l+(r?l?1)$，點(diǎn)$l$不動(dòng)且為其中的最小值。

所以我們有結(jié)論：若能找到一個(gè)$i$，使得$a_i=a_{i?1}$且${?}_j{a}_i\le a_j$，$i$可以作為$p$，方案存在。

那么最后還剩下找不到$i$的環(huán)，其上的點(diǎn)必然是所有$a$相等的，這個(gè)就很容易考慮了，因?yàn)樗悬c(diǎn)都等價(jià)，所以可以任取一個(gè)作為$p$，最后的序列一定長成$a_p,a_p+1,a_p,a_p+1,a_p,a_p+1...$的形式。

這就相當(dāng)于一個(gè)二分圖染色，只有當(dāng)$k$為奇數(shù)時(shí)，存在相鄰兩個(gè)$a$相等，不合法；當(dāng)$a$為偶數(shù)時(shí)存在合法方案。

綜上，當(dāng)且當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)長為奇數(shù)且環(huán)上結(jié)點(diǎn)的$a$都相等時(shí)無解。

Code

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的ARC079F - Namori Grundy(构造，基环树)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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