寫在前面

如果你會$SAM$，相信回文自動機不會難懂。

如果你不會，你可以參考我的上一篇文章。

至少回文自動機是治愈系的吧。

作用

回文自動機，也叫回文樹，簡稱$PAM$實際上它既不是自動機也不是樹

處理回文串的有力工具。可完全代替$Manacher$，就是會多個字符集。

算法流程

首先一個結論：往一個串末尾加入一個字符，最多會增加一個沒出現過的回文串。

證明：

假設出現了兩個之前沒有出現的，它們都是當前串的后綴。

根據對稱性，把短的關于長的的中心作對稱，得到一個相同的回文串，說明已經出現過了。

矛盾，所以最多出現一個。

這么說，對于字符串$S$，本質不同的回文串最多有$|S|$個。

于是可以每個狀態表示一個本質相同的回文串。用$le{n}_i$表示狀態$i$表示的回文串的長度。

考慮到回文串兩邊一樣的，定義轉移$c$表示當前串左右各加上一個$c$

因為分奇回文和偶回文，所以定義兩個初始節點$0,1$，其中$len[0]=0,len[1]=?1$（讓$len[1]=?1$可以說是這個算法最妙的地方）

$0$表示偶回文，$1$表示奇回文。$?1$可以看做添加時吞掉一個字符。

類比$AC$自動機，定義$fail[i]$為這個回文串的最長非自己的回文后綴（以下簡稱回文真后綴）。

強行讓$fail[0]=fail[1]=1$

實際上有個隱含條件：1的所有轉移都到0

接下來同樣考慮增量。

當我們插入$S[i]$時，現在我們知道$S[i?1]$的所有回文后綴，要求$S[i]$的回文后綴。

我們可以從前一個點跳$fail$，如果到某個點$p$剛好可以前后接上$S[i]$,即$S[i?len[p]?1]=S[i]$，說明有一個$p$到當前點的轉移。

如果已經有轉移了，說明這個回文串出現過，直接退出。

接下來維護$fail$。我們發現最長回文真后綴和它本身具有相同的性質。

在之前的基礎上繼續跳就可以了。如果跳到某個$p$有$S[i]$的轉移，說明$ch[p][S[i]]$是個回文后綴，連過去就可以了。

栗子：$AABA$

插入$A$

此時$len[1]=?1$的優勢就體現出來了，因為剛好是$S[i]=S[i]$

插入$A$,依次跳到$0,1$

插入$B$

插入$A$

實現

第一步插入的時候由于一些玄學問題，$p$的$fail$可能接到自己身上

解決策略是先把fail算出來，再接到之前的節點后面

剩下的就很容易了

代碼有點古怪，僅供參考

char s[MAXN]; int n; int ch[MAXN][26],fail[MAXN]; int len[MAXN]; int las=1,tot=1; void init() {len[1]=-1;fail[0]=fail[1]=1; } void insert(int i) {int p=las;while (s[i-len[p]-1]!=s[i]) p=fail[p];if (ch[p][s[i]-'a']) return (void)(las=ch[p][s[i]-'a']);int q=fail[p];while (s[i-len[q]-1]!=s[i]) q=fail[q];las=++tot;fail[las]=ch[q][s[i]-'a']; len[ch[p][s[i]-'a']=las]=len[p]+2; }

運用

①每個點結尾的回文個數

即$fail$樹的深度

②本質不同的回文個數

就是狀態數

好像只有這些……

想到再補吧

創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的回文自动机：从入门到只会打板的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。