所有下標均從1開始

最小表示法

給定一個串，求字典序最小的循環同構。

我們把串復制一遍接在后面，然后求出$[1,N]$開始的長為$N$的子串中最小的

先設$i=1,j=2$

然后暴力找出$i$和$j$往后匹配的第一個不同的位置，記為$i+k$和$j+k$

如果$S_{i+k}<S_{j+k}$,說明$i$比$j$優，所以$j$不是最優解；然后發現$i+1$比$j+1$優，所以$j+1$不是最優解……這樣可以讓$j$直接跳到$j+k+1$。

$S_{i+k}>S_{j+k}$同理

如果$i=j$，隨便讓一個$+1$即可

兩個指針都不能超過$N$，一個超過之后另一個就是答案

因為所有位置都會被遍歷，而最優解一定不會被丟掉，所以正確性可以保證。

復雜度顯然是$O(N)$

模板題

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; char s[10005]; int main() {int T;scanf("%d",&T);while (T--){scanf("%s",s);int n=strlen(s);int i=0,j=1;while (i<n&&j<n)for (int k=0;;k++){if (s[(i+k)%n]!=s[(j+k)%n]){if (s[(i+k)%n]>s[(j+k)%n])i+=k+1;else j+=k+1;if (i==j) j++;break;}if (k==n) goto end;}end:printf("%d\n",min(i,j)+1);}return 0; }

(遠古代碼，和上面講的略有不同，僅供參考)

擴展KMP

官方名稱應該叫Z算法，不知道為啥傳到國內就變成擴展KMP了

但實際上思想和manacher很像所以應該叫擴展馬拉車

解決的問題是給兩個串$S,T$,求 $T$的每個后綴和$S$ 的最長公共前綴

先把$S$接在$T$后面，中間加個#之類的東西 把這個串記為$A$

然后設$p_i$表示$A$的從$i$開始的后綴和$T$（也可以是$A$）的最長公共前綴

并且設公共前綴擴展到的最右位置為$mx$,取到這個最大值的$i$為$x$

然后$i$從$2$開始遍歷（因為$p_1$沒有意義還會把算法搞砸）

如果$i<mx$

因為上下橙色位置相同，所以$p_i=p_{i?x+1}$，當然要和$mx?i+1$取$\min$

如果$i\ge mx$，不管

然后暴力擴展，更新$mx$,沒了

復雜度顯然$O(|S|+|T|)$

模板題

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #define MAXN 200005 using namespace std; char s[MAXN],t[MAXN]; int p[MAXN]; int main() {scanf("%s%s",t+1,s+1);int m=strlen(s+1);strcat(s+1,"#");strcat(s+1,t+1);int n=strlen(s+1);for (int i=2,x=0,mx=0;i<=n;i++){p[i]=i<=mx? min(p[i-x+1],mx-i+1):0;while (s[i+p[i]]==s[p[i]+1]) ++p[i];if (i+p[i]-1>mx) x=i,mx=i+p[i]-1;}for (int i=1;i<=n;i++)if (s[i]=='#') puts("");else printf("%d ",i>1? p[i]:m);return 0; }

Lyndon Word

定義：一個串是Lyndon Word（以下簡稱LW），當且僅當它本身是自己字典序最小的后綴

下文字符串的比較均為字典序，+為字符串拼接

性質1 兩個LW $u,v$,如果$u<v$,那么$u+v$是LW

對于$v$的后綴，它比$v$大，所以一定不是最小的；

對于$v$,因為$u<v$,所以$u+v<v$

對于$(u的后綴)+v$,因為$u<(u的后綴)$,所以$u+v<(u的后綴)+v$

所以$u+v$是最小的

所以LW可以遞歸定義：

單個字符是LW

多個字典序遞增的LW順次拼接后是LW

性質2 一個LW將最后一個字符變大后仍是LW

只有最后一個只包含一個字符的后綴變大，前面大小關系不變

性質3 任意字符串$S$存在且僅存在一種分解方式$S=s_1+s_2+...+s_n$,使得所有$s_i$均為LW且單調不增

證明是不可能的，這輩子都是不可能的

把性質3中的分解稱為Lyndon分解

接下來要講的就是線性求Lyndon分解的Duval算法

首先三個指針$i,j,k$，表示$i$以前的分解已經固定,現在處理第$k$個字符,$j$一會兒說

即$[1,i)$為$s_1+s_2+...+s_n$,其中$s_i$為LW且單調不增

$[i,k)$為$t+t+...+t+t_1$,其中$t$是LW，$t_1$是$t$的可空前綴

也就是一個LW不斷循環，最后一個循環節可以不完整。注意這不一定是$[i,k)$的Lyndon分解，因為$t_1$不一定是LW

別問為啥，問就是歸納法

現在把$S_k$加在后面，如果要繼續循環，應該加的是$S_{k?循環節長度}$，我們把這個$k$應該跟的位置記為$j$

如果$S_j=S_k$，說明循環正常，繼續往后

如果$S_j<S_k$，根據性質1，最后一個不完整的循環節$t_1$加上$S_k$是個LW并且比前面的$t$都大，不斷向前合并發現整段都是LW。所以將$[i,k]$一長串合并成新的$t$，即令$j=i$

如果$S_j>S_k$ 不管$t_1$和$S_k$大小關系，反正后面怎么加怎么都會小于$t$,所以沒$t$啥事了，把所有$t$固定下來，$t_1$作為新的循環節。然后$t_1$這個地方，我們之前以為它會進入循環，然而它沒有，這里面漏了一些信息，所以需要從$t_1$的開頭重新分解

模板題

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #define MAXN (1<<20)+5 using namespace std; char s[MAXN]; int main() {scanf("%s",s+1);int n=strlen(s+1);for (int i=1;i<=n;){int j=i,k=i+1;while (s[j]<=s[k]){if (s[j]==s[k]) ++j;else j=i;++k;}while (i<=j){printf("%d ",i+k-j-1);i+=k-j;}}return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的几个冷门字符串算法的学习笔记（最小表示法，exKMP，Lyndon Word）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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