引入

K-D Tree 是一種處理高維空間的數據結構。

支持$O(n^{\frac{k?1}{k}})$查詢給定超矩形內的點的信息， $k$ 為維數。

可以用替罪羊樹的思想實現動態插入。

但其實用的最多的是在錯誤的復雜度內查詢奇奇怪怪的點信息。

構建

K-D Tree 是平衡樹的結構（但應該不能叫平衡樹）。

它的核心思想是通過樹一層層的分化，把整個空間分割成若干子空間。

但是點是$k$維的，而樹只有二維，所以一次我們只能選擇一維來劃分。

我們關心的問題是如何選取進行比較的維度。

一種方法是選取方差最大的維度，但在OI中不常用

OI中一般輪流選取，即深度為$d$的結點按第$d\%k$維的坐標劃分

具體而言，設點的序列為$p$,對于一個需要構建區間 $[L,R]$，設當前需要分的維度為$d$

如果 $L=R$ ,那么劃分出的只有當前一個點

為了保證盡量均勻，我們選取這一維的中位數作為當前子樹的根

設 mid=(l+r)/2

可以使用 C++ STL 中一個奧妙重重的函數 nth_element

它可以把第 $k$ 小的元素放在第 $k$ 位，然后比它小的放在左邊（但并不保證有序，后同），比它大的放在右邊。復雜度為 $O(n)$ （其實就是閹割版的快排）

這樣我們 nth_element(p+l,p+mid,p+r+1) 就完事了

因為已經幫你分好了 ，所以把中位數間個點當根，然后遞歸 $[L,mid?1]$ 和 $[mid+1,R]$

最后更新子樹信息，我們要維護的是超矩形，記錄一下每一維的最小值和最大值就可以了。

復雜度 $O(n\log n)$

插入

用平衡樹的方法插入，根據當前層數判斷往左還是往右

當然可能會插成鏈，你又不能旋轉，所以只能考慮重構

暴力推平重新建就可以了，沒啥技術含量

只是重建帶一個 $\log$ ，所以可能跑得有點慢……

詢問

詢問一個 $k$ 維超矩形內所有點的信息

用線段樹的思想無腦遞歸就可以了

如果完全包含當前點劃分出的子空間直接返回當前子樹的值，沒有相交返回 $0$

復雜度可以證明是$O(n^{1?\frac{1}{k}})$

對于 $k=2$ 的情況提供一個不知道對不對的證明：

對于一個結點，設其子樹大小為$n$,我們考慮往下分兩層

設$T_1(n)$表示詢問中間挖一塊的復雜度

$T_2(n)$表示挖一個角的復雜度

$T_3(n)$為平行挖的復雜度

顯然有

$$\begin{gathered} T_1(n)=4T_2(\frac{n}{4}) \\ {T}_2(n)=2T_3(\frac{n}{4})+T_2(\frac{n}{4}) \\ {T}_3(n)=2T_3(\frac{n}{4}) \end{gathered}$$

解得

$$T_1(n)=T_2(n)=T_3(n)=\sqrt{n}$$

有一些變種，比如一次函數的下方、最近點對，但這些復雜度都是錯的。

不過如果出題人不刻意卡跑得還是挺快的，是個騙分的不錯選擇（

例題

Luogu4148 簡單題

有一個$n\times n$的方陣，開始時值都為$0$,維護$m$次操作：

在$(x,y)$的位置加上$v$

詢問一個矩陣內的數字和

$n\le 5\times 10^5,m\le 2\times 10^5$

強制在線，空間限制20M

模板題

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <algorithm> #define MAXN 200005 using namespace std; inline int read() {int ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans; } const double alpha=0.7; struct point{int x[2];point(const int& a=0,const int& b=0){x[0]=a,x[1]=b;}}; inline point min(const point& a,const point& b){return point(min(a.x[0],b.x[0]),min(a.x[1],b.x[1]));} inline point max(const point& a,const point& b){return point(max(a.x[0],b.x[0]),max(a.x[1],b.x[1]));} inline bool operator ==(const point& a,const point& b){return a.x[0]==b.x[0]&&a.x[1]==b.x[1];} int val[MAXN],sum[MAXN],siz[MAXN],ch[MAXN][2],tot; point cur[MAXN],L[MAXN],R[MAXN]; int rt,*tag,dir; int rub[MAXN]; inline int newnode(const int& v,const point& p) {int x=rub[0]? rub[rub[0]--]:++tot;val[x]=sum[x]=v,siz[x]=1,cur[x]=L[x]=R[x]=p;ch[x][0]=ch[x][1]=0;return x; } inline void update(const int& x) {sum[x]=val[x]+sum[ch[x][0]]+sum[ch[x][1]];siz[x]=siz[ch[x][0]]+siz[ch[x][1]]+1;L[x]=min(cur[x],min(L[ch[x][0]],L[ch[x][1]]));R[x]=max(cur[x],max(R[ch[x][0]],R[ch[x][1]])); } void insert(int& x,int k,int v,const point& p) {if (!x) return (void)(x=newnode(v,p));if (cur[x]==p) return val[x]+=v,update(x);int d=p.x[k]<cur[x].x[k];insert(ch[x][d],k^1,v,p);update(x);if (siz[ch[x][d]]>siz[x]*alpha) tag=&x,dir=k; } struct node{int v;point p;}; node buf[MAXN]; int cnt; int cur_k; inline bool operator <(const node& a,const node& b){return a.p.x[cur_k]<b.p.x[cur_k];} void build(int& x,int k,int l,int r) {if (l>r) return (void)(x=0);int mid=(l+r)>>1;cur_k=k,nth_element(buf+l,buf+mid,buf+r+1);x=newnode(buf[mid].v,buf[mid].p);build(ch[x][0],k^1,l,mid-1),build(ch[x][1],k^1,mid+1,r);update(x); } void dfs(int x) {if (!x) return;dfs(ch[x][0]);buf[++cnt].p=cur[x],buf[cnt].v=val[x],rub[++rub[0]]=x;dfs(ch[x][1]); } inline void rebuild() {cnt=0;dfs(*tag);build(*tag,dir,1,cnt); } int query(int x,point l,point r) {if (l.x[0]<=L[x].x[0]&&R[x].x[0]<=r.x[0]&&l.x[1]<=L[x].x[1]&&R[x].x[1]<=r.x[1]) return sum[x];if (r.x[0]<L[x].x[0]||R[x].x[0]<l.x[0]||r.x[1]<L[x].x[1]||R[x].x[1]<l.x[1]) return 0;int ans=0;if (l.x[0]<=cur[x].x[0]&&cur[x].x[0]<=r.x[0]&&l.x[1]<=cur[x].x[1]&&cur[x].x[1]<=r.x[1]) ans=val[x];return ans+query(ch[x][0],l,r)+query(ch[x][1],l,r); } int main() {memset(L,0x7f,sizeof(L));read();int lans=0;while (true){int x1,y1,x2,y2,v;switch(read()){case 1:x1=read()^lans,y1=read()^lans,v=read()^lans;tag=NULL;insert(rt,0,v,point(x1,y1));if (tag!=NULL) rebuild();break;case 2:x1=read()^lans,y1=read()^lans,x2=read()^lans,y2=read()^lans;printf("%d\n",lans=query(rt,point(x1,y1),point(x2,y2)));break;case 3:return 0;}} }

Luogu4475 巧克力王國

題意：給定$n$對$x_i,y_i$,$m$次詢問，每次給定$a,b,c$,求$ax+by<c$的$(x,y)$的個數

$n,m\le 5\times 10^4,?10^9\le x,y,a,b,c\le 10^9$

先口胡一份

顯然滿足條件的$(x,y)$在一個一次函數下方

建出K-D Tree后，詢問時因為是矩形，如果四個點都在這個函數下方，那么整個矩形中的點都在下方，直接返回

注意這個復雜度是錯誤的，只是數據沒卡跑得快

總結

以上是生活随笔為你收集整理的K-D Tree学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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