題意：$n$個點帶邊權(quán)的樹，動態(tài)修改點權(quán)$v_i$，最小化 欽定一個點$x$ 后 $\sum _{i}dist(x,i)?v_i$的值。

$n,q\le 10^5$，度數(shù)不超過$20$

限制度數(shù)的樹上的一些詭異的操作，時限很長，多半是點分樹。

也叫動態(tài)點分治，但實際上并不是動態(tài)的點分治并且有一定誤導(dǎo)性，所以以后都叫點分樹。

點分樹是對一個樹點分治后的結(jié)構(gòu)建出的樹，即在點分治時將下一層的重心的父親設(shè)為當(dāng)前的分治中心。

它具有以下常用的性質(zhì)：

原樹與點分樹 一個相同的點$u$的兒子$v$為根的子樹 一一對應(yīng)。

點分樹上兩個點的$lca$ 在原樹上這兩個點的路徑上。

樹高$O(\log n)$

本質(zhì)上是對樹建出的線段樹。

在本題中詳細(xì)講解。

首先本題實際上求的是帶權(quán)重心

有個結(jié)論：

設(shè)當(dāng)前點是$u$,如果$v$比$u$更優(yōu)

那么有

$$len(u,v)?(n?su{m}_v?su{m}_v)<0$$

其中$sum$表示子樹點權(quán)和

即

$$2su{m}_v>n$$

然后繼續(xù)往下走

不難看出對于一個$u$，這樣的$v$最多只有$1$個，所以答案一定在滿足條件的$v$的子樹內(nèi)。如果沒有這樣的$v$說明$u$是帶權(quán)重心。

這樣是$O(n)$的，考慮搬到點分樹上

從點分樹的根開始往下走

設(shè)當(dāng)前在$u$,我們找到點分樹上$u$的一個兒子$v$

注意之前的結(jié)論只能往原樹上相鄰的點走，所以你不能直接用這個結(jié)論判斷$v$

但是如果我們設(shè)$u$往 $v$在點分樹上的子樹 的這個方向走一步 到達(dá)的點是$w$

即：

（紅色為點分樹）

因為$w$在原樹上的子樹 等于 $v$在點分樹上的子樹

我們想判斷答案是否在 $v$在點分樹上的子樹內(nèi)，可以轉(zhuǎn)換為是否在 $w$在原樹上的子樹內(nèi)

然而如果你判$2?su{m}_v>su{m}_{rt}$,會發(fā)現(xiàn)你還是WA了

原因是你欽定$u$為根之后，這棵樹的形態(tài)已經(jīng)確定了

你在點分樹上一直往下走，實際上原樹上仍然在亂跳

人話：只有第一層的$w$（原樹）和$v$（點分樹）的子樹一樣，后面的點分樹上的子樹在原樹上甚至可能不是子樹。

但是上面已經(jīng)證明過最多只有一個$v$

我們可以直接算出$u$在原樹上的每個兒子的答案和根結(jié)點比較，如果有一個$w$比根結(jié)點優(yōu)，因為只有一個，說明答案在 $w$在原樹上的子樹（或$v$在點分樹上的子樹）內(nèi)。

然后想象把這條邊斷開，化歸到從$v$開始的子問題。

也就是說$u$和$v$并沒有實質(zhì)關(guān)聯(lián)，只是從重心開始方便處理而已。

現(xiàn)在考慮如何計算一個點的答案

維護(hù)$an{s}_u$表示以$f{a}_u$為根時，$u$在點分樹上的子樹中的點到$f{a}_u$的帯權(quán)距離（距離*點權(quán)）之和，$fa$為在點分樹上的父結(jié)點。

詢問點$x$的答案時，先加入點分樹上子結(jié)點的所有$ans$,然后在點分樹上往上跳，把兄弟結(jié)點的子樹中的所有點權(quán)挪到父親上，再一起挪到$x$。因為樹高$O(\log n)$，可以保證復(fù)雜度。詳見代碼。

修改的時候暴力跳父親修改$sum$和$ans$就可以了。

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <vector> #include <cassert> #define MAXN 100005 #define MAXM 200005 using namespace std; typedef long long ll; inline int read() {int ans=0,f=1;char c=getchar();while (!isdigit(c)) (c=='-')&&(f=-1),c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return f*ans; } struct edge{int u,v,w;}e[MAXM]; int head[MAXN],nxt[MAXM],cnt; void addnode(int u,int v,int w) {e[++cnt]=(edge){u,v,w};nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt; } int dis[MAXN],pos[MAXN],dfn[MAXM],up[MAXN],tim; void dfs(int u) {dfn[pos[u]=++tim]=u;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (!pos[e[i].v]){dis[e[i].v]=dis[u]+e[i].w;up[e[i].v]=u;dfs(e[i].v);dfn[++tim]=u;} } int LOG[MAXM],st[20][MAXM]; inline int Min(const int& x,const int& y){return pos[x]<pos[y]? x:y;} inline void init() {LOG[0]=-1;for (int i=1;i<MAXM;i++) LOG[i]=LOG[i>>1]+1;for (int i=1;i<=tim;i++) st[0][i]=dfn[i];for (int i=1;i<20;i++)for (int j=1;j+(1<<(i-1))<=tim;j++)st[i][j]=Min(st[i-1][j],st[i-1][j+(1<<(i-1))]); } inline int lca(const int& x,const int& y) {int l=pos[x],r=pos[y];if (l>r) swap(l,r);int t=LOG[r-l+1];return Min(st[t][l],st[t][r-(1<<t)+1]); } inline int dist(const int& x,const int& y){return dis[x]+dis[y]-2*dis[lca(x,y)];} int rt; int siz[MAXN],maxp[MAXN]={0x7fffffff}; bool cut[MAXN]; void findrt(int u,int f,int sum) {siz[u]=1,maxp[u]=0;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (e[i].v!=f&&!cut[e[i].v]){findrt(e[i].v,u,sum);siz[u]+=siz[e[i].v],maxp[u]=max(maxp[u],siz[e[i].v]);}if (sum-siz[u]>maxp[u]) maxp[u]=sum-siz[u];if (maxp[u]<maxp[rt]) rt=u; } int getsiz(int u,int f) {int ans=1;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (e[i].v!=f&&!cut[e[i].v])ans+=getsiz(e[i].v,u);return ans; } int d[MAXN],sum[MAXN]; ll ans[MAXN]; int fa[MAXN]; vector<int> son[MAXN],top[MAXN]; void build() {int u=rt;cut[u]=true;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (!cut[e[i].v]){rt=0;findrt(e[i].v,0,getsiz(e[i].v,0));son[u].push_back(rt),top[u].push_back(e[i].v),fa[rt]=u;build();} } bool vis[MAXN]; void DFS(int u) {assert(!vis[u]);vis[u]=true;for (int i=0;i<(int)son[u].size();i++)DFS(son[u][i]); } inline void modify(int x,int v) {int u=x;for (;fa[x];x=fa[x]) sum[x]+=v,ans[x]+=(ll)dist(fa[x],u)*v;sum[x]+=v; } inline ll calc(int x) {ll res=0;for (int i=0;i<(int)son[x].size();i++)res+=ans[son[x][i]];for (int u=fa[x],v=x;u;v=u,u=fa[u]){int tot=d[u];for (int i=0;i<(int)son[u].size();i++)if (son[u][i]!=v)res+=ans[son[u][i]],tot+=sum[son[u][i]];res+=(ll)tot*dist(u,x); }return res; } inline ll query(int x) {ll v=calc(x);for (int i=0;i<(int)son[x].size();i++)if (calc(top[x][i])<v)return query(son[x][i]);return v; } int main() {int n,q;n=read(),q=read();for (int i=1;i<n;i++){int u,v,w;u=read(),v=read(),w=read();addnode(u,v,w),addnode(v,u,w);}dfs(1);init();int Rt;findrt(1,0,n),Rt=rt,build();while (q--){int x,v;x=read(),v=read();d[x]+=v,modify(x,v);printf("%lld\n",query(Rt));}return 0; } 創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎勵來咯，堅持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎

總結(jié)

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