題意：給定 $n$ 個數 $a_i$ ，求選出（可以重復，考慮順序）$M$ 個數和為 $S$ 的方案數模 $2$。

$n\le 200,a_i\le 10^5,M,S\le 10^{18}$

首先給每個數分配一個出現次數 $c_i$,這個 $c$ 貢獻的方案數為

$$\frac{M!}{c_1!c_2！\dots c_n!}$$

即

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{c_1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{M?c_1}{c_2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{M?c_1?c_2}{c_3}\right)\dots$$

寫出 $M,c_i$ 的二進制，發現上式為奇數當且僅當 $c_1|c_2|c_3\dots |c_n=M$

證明：考慮模 $2$ 意義下的盧卡斯定理，對于組合數 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}\right)$，該式為 $0$ 當且僅當二進制某個對應位置 $a$ 為 $0$，$b$ 為 $1$。也就是說，整個式子為 $1$ 當且僅當每個組合數下面都是上面的子集。通過歸納法就可以證明。

如果想找個沒這么啟發式的證明，可以考慮對于 $2$ 的 $\mathrm{ruler}(x)=2x?\mathrm{count}(x)$

這意味著：對于 $M$ 每一個為 $1$ 的位 $i$，都可以且必須選 $2^i$ 個相同的數。

所以從高到底考慮 $S$ 的每一位做個背包，設 $f(i,j)$ 表示考慮到第 $i$ 位剩下 $j$ 的空間的方案數，每枚舉一位就把這個空間乘以 $2$ 加上這一位的數。因為 $a_i$ 只有 $10^5$，所以這個 $j$ 不用記太大，用 bitset 優化即可。

復雜度 $O(Tn{a}_i\log S/w)$

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <bitset> using namespace std; typedef long long ll; const int N=2e5; int a[205]; bitset<N+5> f[2]; int main() {int T;scanf("%d",&T);while (T--){ll M,S;int n;scanf("%lld%lld%d",&M,&S,&n);for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);f[0].reset(),f[1].reset();f[0].set(0);for (int d=60;d>=0;d--){f[1].reset();for (int i=0;((i<<1)|((S>>d)&1))<=N;i++) if (f[0][i]) f[1].set((i<<1)|((S>>d)&1));f[0]=f[1];if ((M>>d)&1){f[0].reset();for (int i=1;i<=n;i++) f[0]^=(f[1]>>a[i]);} else f[0]=f[1];}cout<<f[0][0]<<'\n';}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【启智树NOIP模拟】奇偶【卢卡斯定理】【背包】【bitset】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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