黑暗爆炸OJ 3028. 食物 生成函数
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- 題意：
- 思考
題意：
思考
考慮將每個條件轉換成生成函數：
(1)f1(x)=1+x2+...=11?x2(1)f_1(x)=1+x^2+...=\frac{1}{1-x^2}(1)f1?(x)=1+x2+...=1?x21?
(2)f2(x)=1+x=1?x21?x(2)f_2(x)=1+x=\frac{1-x^2}{1-x}(2)f2?(x)=1+x=1?x1?x2?
(3)f3(x)=1+x+x2=1?x31?x(3)f_3(x)=1+x+x^2=\frac{1-x^3}{1-x}(3)f3?(x)=1+x+x2=1?x1?x3?
(4)f4(x)=x+x3+...=x1?x2(4)f_4(x)=x+x^3+...=\frac{x}{1-x^2}(4)f4?(x)=x+x3+...=1?x2x?
(5)f5(x)=1+x4+...=11?x4(5)f_5(x)=1+x^4+...=\frac{1}{1-x^4}(5)f5?(x)=1+x4+...=1?x41?
(6)f6(x)=1+x+x2+x3=1?x41?x(6)f_6(x)=1+x+x^2+x^3=\frac{1-x^4}{1-x}(6)f6?(x)=1+x+x2+x3=1?x1?x4?
(7)f7(x)=1+x=1?x21?x(7)f_7(x)=1+x=\frac{1-x^2}{1-x}(7)f7?(x)=1+x=1?x1?x2?
(8)f8(x)=1+x3+x6+...=11?x3(8)f_8(x)=1+x^3+x^6+...=\frac{1}{1-x^3}(8)f8?(x)=1+x3+x6+...=1?x31?
將其乘起來，得：(1?x2)(1?x3)x(1?x4)(1?x2)(1?x2)(1?x)(1?x)(1?x2)(1?x4)(1?x)(1?x)(1?x3)\frac{(1-x^2)(1-x^3)x(1-x^4)(1-x^2)}{(1-x^2)(1-x)(1-x)(1-x^2)(1-x^4)(1-x)(1-x)(1-x^3)}(1?x2)(1?x)(1?x)(1?x2)(1?x4)(1?x)(1?x)(1?x3)(1?x2)(1?x3)x(1?x4)(1?x2)?
約分可得x(1?x)4\frac{x}{(1-x)^4}(1?x)4x?。
由廣義二項式定理1(1?x)m+1=∑n≥0(n+mn)xn\frac{1}{(1-x)^{m+1}}=\sum_{n\ge 0}\binom{n+m}{n}x^n(1?x)m+11?=∑n≥0?(nn+m?)xn得x(1?x)4=∑n≥0(n+3n)xn+1=∑n≥1(n+2n?1)xn\frac{x}{(1-x)^4}=\sum_{n\ge0}\binom{n+3}{n}x^{n+1}=\sum_{n\ge1}\binom{n+2}{n-1}x^n(1?x)4x?=∑n≥0?(nn+3?)xn+1=∑n≥1?(n?1n+2?)xn，所以第nnn項的答案為(n+2n?1)=(n+23)=(n+2)(n+1)(n)6\binom{n+2}{n-1}=\binom{n+2}{3}=\frac{(n+2)(n+1)(n)}{6}(n?1n+2?)=(3n+2?)=6(n+2)(n+1)(n)?，取個逆元直接計算即可。
總結
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