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• 題意：
• 思路：

題意：

一段長度為$n$的序列，你有紅黃藍(lán)綠四種顏色的磚塊，問你鋪磚的方案數(shù)，每塊磚長度為$1$，其中紅黃顏色個(gè)數(shù)必須為偶數(shù)。

思路：

考慮多重集合排列數(shù)：

所以我們構(gòu)造四種顏色的指數(shù)生成函數(shù)，并轉(zhuǎn)換成封閉式：
$f_{紅}(x)=f_{黃}(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...=\frac{e^x+e^{?x}}{2}$
$f_{藍(lán)}(x)=f_{綠}(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...=e^x$

將其乘起來得封閉式
$G=e^{2x}?\frac{e^{2x}+e^{?2x}+2}{4}=\frac{e^{4x}+2e^{2x}+1}{4}$。
再將封閉式展開
由$e^x={\sum }_{i\ge 0}\frac{x^i}{i!}$，得$e^{kx}={\sum }_{i\ge 0}\frac{k^i{x}^i}{i!}$，即$G=\frac{1}{4}+\frac{{\sum }_{i\ge 0}(4^i+2^{i+1})?\frac{x^i}{i!}}{4}$，取指數(shù)為$n$的項(xiàng)，得系數(shù)$\frac{4^n+2^{n+1}}{4?n!}$，可以將常數(shù)項(xiàng)忽略，再乘上多重集合排列數(shù)的分子$n!$得$\frac{4^n+2^{n+1}}{4}=4^{n?1}+2^{n?1}$，答案即為$4^{n?1}+2^{n?1}$，快速冪直接算一下即可。

// Problem: Blocks // Contest: Virtual Judge - POJ // URL: https://vjudge.net/problem/POJ-3734 // Memory Limit: 65 MB // Time Limit: 1000 ms // // Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)//#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math") //#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native") //#pragma GCC optimize(2) #include<cstdio> #include<iostream> #include<string> #include<cstring> #include<map> #include<cmath> #include<cctype> #include<vector> #include<set> #include<queue> #include<algorithm> #include<sstream> #include<ctime> #include<cstdlib> #include<cassert> #define X first #define Y second #define L (u<<1) #define R (u<<1|1) #define pb push_back #define mk make_pair #define Mid ((tr[u].l+tr[u].r)>>1) #define Len(u) (tr[u].r-tr[u].l+1) #define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1)) #define db puts("---") using namespace std;//void rd_cre() { freopen("d://dp//data.txt","w",stdout); srand(time(NULL)); } //void rd_ac() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//AC.txt","w",stdout); } //void rd_wa() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//WA.txt","w",stdout); }typedef long long LL; typedef unsigned long long ULL; typedef pair<int,int> PII;const int N=1000010,mod=10007,INF=0x3f3f3f3f; const double eps=1e-6;LL qmi(LL a,LL b) {LL ans=1;while(b) {if(b&1) ans=ans*a%mod;b>>=1;a=a*a%mod;}return ans%mod; }int main() { // ios::sync_with_stdio(false); // cin.tie(0); int _; cin>>_;while(_--) {int n; cin>>n;cout<<((1ll*qmi(4,n-1)+qmi(2,n-1))%mod)<<endl;}return 0; } /**/

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的POJ - 3734 Blocks 指数生成函数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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