CF623E Transforming Sequence

經典的倍增NTT題目，但是由于萬惡的模數導致這道題變成了倍增MTT
要求n個數前綴或嚴格遞增的序列個數，一共有k位。

然后我們考慮進行dp，然后我的思路就是$f_{i,j}$表示前i位在k位中有j位的方案數，然后可以利用組合數進行轉移，但是這個狀態設計不優秀，主要在于它包含了這j位在k位中哪些位置的信息，但是我們完全不需要，因為這j位和其他j位是完全等價的，我們本質上只需要考慮這j位，那么得到另一個狀態設計$g_{i,j}$表示前i個數一共j位都變成1的方案數，本質上$f_{i,j}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j}\right)g_{i,j}$

然后這時就有一個非常優秀的性質$g_{n+m,i}={\sum }_{j=1}^i{g}_{n,j}{g}_{m,i?j}{2}^{jm}$然后我們就可以進行分治MTT了QAQ

這個狀態設計很巧妙，它不是直指答案的，而是將各個等價的獨立子問題分開，這個思路非常巧妙，甚至我們對于這樣的問題，即使無法用多項式優化，也可以將O(n)變為O(logn)

總結

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