多項式牛頓迭代

給定多項式$g(x)$，求$f(x)$，滿足$g(f(x))\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$。

泰勒展開

對于現有得$f(x)$，構造一個多項式$g(x)$，使得$f^{(n)}(x)=g^{(n)}(x)$，也就是兩者得$n$階導數是相等的。

假設$g(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+?+a_{n?1}{x}^{n?1}+a_n{x}^n$

考慮通過$(0,f(0))$來構造，顯然有$g(0)=a_0=f(0)$，對任意階倒數相同有$g^{(n)}=n!a_n=f^{(n)}(0)$，則$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$

所以構造出$g(x)=f(0)+\frac{f^{(1)}(0)}{1!}x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}{x}^2+?+\frac{f^{(n?1)}(0)}{(n?1)!}{x}^{n?1}+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n\dots$

對于任意點$(x_0,f(x_0))$，可得$g(x)=f(0)+\frac{f^{(1)}(0)}{1!}(x?x_0)+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}(x?x_0{)}^2+?+\frac{f^{(n?1)}(0)}{(n?1)!}(x?x_0{)}^{n?1}+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x?x_0{)}^n\dots$

牛頓迭代

迭代求函數零點

對于$f(x)$，任意選取一個點$(x_0,f(x_0))$作為當前我們預估的零點，取他的泰勒展開前兩項$g(x)=f(0)+f^{\prime }(x)(x?x_0)$，

解出方程$g(x)=0$，得到$x_1$，然后重復上述操作，最后$x_n$會趨近于我們所要的正解。

考慮如何應用到多項式上

邊界條件$n=1$時，$[x^0]g(f(x))=0$，的解單獨求出。

假設我們已經求得膜$x^{?\frac{n}{2}?}$下的解$f_0(x)$，要求膜$x^n$下的解$f(x)$，得到該點的泰勒展開：
$$\begin{gathered} \sum _{i=0}^{\infty }\frac{g^{(i)}(f_0(x))}{i!}(f(x)?f_0(x){)}^n \\ f(x)?f_0(x)前面的項已經被截了,所以最低次冪是大于?\frac{n}{2}?的 \\ 有(f(x)?f_0(x){)}^i\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n),i>=2 \\ 有g(f_0(x))+g^{\prime }(f_0(x))(f(x)?f_0(x))\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \\ f(x)\equiv f_0(x)?\frac{g(f_0(x))}{g^{\prime }(f_0(x))}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \end{gathered}$$

應用

多項式求逆

$$\begin{gathered} 對于給定的h(x)， \\ 有g(f(x))=\frac{1}{f(x)}?h(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \\ f(x)\equiv f_0(x)?\frac{\frac{1}{f_0(x)}?h(x)}{?\frac{1}{f_0^2(x)}}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \\ f(x)\equiv 2f_0(x)?h(x)f_0^2(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \\ f(x)\equiv f_0(x)(2?h(x)f_0(x))(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \end{gathered}$$

多項式開根

$$\begin{gathered} 對于給定的h(x) \\ 有g(f(x))=f^2(x)?h(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \\ f(x)\equiv f_0(x)?\frac{f_0^2(x)?h(x)}{2f_0(x)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}()x^n) \\ f(x)\equiv \frac{f_0^2(x)+h(x)}{2f_0(x)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \\ f(x)\equiv 2^{?1}{f}_0(x)+2^{?1}h(x)f_0^{?1}(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \end{gathered}$$

多項式$\exp$

$$\begin{gathered} 對于給定的h(x) \\ 有g(f(x))=\ln f(x)?h(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \\ f(x)\equiv f_0(x)?\frac{\ln f_0(x)?h(x)}{\frac{1}{f_0(x)}}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \\ f(x)\equiv f_0(x)(1?\ln f_0(x)+h(x))(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \end{gathered}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的多项式牛顿迭代（应用：求逆，开根，对数exp）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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