生成函數(shù)

可表示為$F(x)=\sum _n{a}_n{k}_n(x)$，對于不同類型的生成函數(shù)，有不同的核函數(shù)$k_n(x)$。

普通生成函數(shù)：$k_n(x)=x^n$。

指數(shù)生成函數(shù)：$k_n(x)=\frac{x^n}{n!}$。

迪利克雷生成函數(shù)：$k_n(x)=\frac{1}{n^x}$。

普通生成函數(shù)

封閉形式

在運用生成函數(shù)的過程中，我們不會一直使用形式冪級數(shù)的形式，而會適時地轉(zhuǎn)化為封閉形式以更好地化簡。

對于$<1,1,1,?>$的普通生成函數(shù)$F(x)=\sum _{0\le n}{x}^n$，$F(x)x+1=F(x)$，$F(x)=\frac{1}{1?x}$

一些函數(shù)的封閉形式化簡

$<1,p,p^2,p^3,p^4,?>$

$F(x)=\sum _{n\ge 0}{p}^n{x}^n,F(x)px+x=F(x),F(x)=\frac{x}{1?px}$

$<0,1,1,1,1,?>$

$F(x)=\sum _{n\ge 1}{x}^n,xF(x)+x=F(x),F(x)=\frac{x}{1?x}$

$<1,0,1,0,1,?>$

$F(x)=\sum _{n\ge 0}{x}^{2n},F(x)x^2+1=F(x),F(x)=\frac{1}{1?x^2}$

$<1,2,3,4,5,?>$

$F(x)=\sum _{n\ge 0}(n+1)x^n,F(x)?xF(x)=\sum _{n\ge 0}{x}^n=\frac{1}{1?x},F(x)=\frac{1}{(1?x{)}^2}$

$a_n={(}_n^m)(m是常數(shù)，n\ge 0)$

$F(x)=\sum _{n\ge 0}{C}_m^n{x}^n,二項式定理有F(x)=(1+x{)}^m$

$a_n={(}_n^{n+m})(m是常數(shù)，n\ge 0)$

$F(x)=\sum _{n\ge 0}{C}_{n+m}^n{x}^n,F(x)=\frac{1}{(1?x{)}^{m+1}}$

斐波那契數(shù)列生成函數(shù)

$$\begin{gathered} F(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots \\ xF(x)=a_{0}x+a_1{x}^2+a_2{x}^3+\dots \\ {x}^{2}F(x)=a_0{x}^2+a_1{x}^3+a_2{x}^4+\dots \\ F(x)=xF(x)+x^{2}F(x)+a_0 \\ F(x)=\frac{1}{1?x?x^2} \\ 求解1?x?x^2=(1?ax)(1?bx)，得到a=\frac{1+\sqrt{5}}{2},b=\frac{1?\sqrt{5}}{2} \\ F(x)=\frac{1}{1?x?x^2}=\frac{A}{1?ax}+\frac{B}{1?bx} \\ 解得A=\frac{1}{\sqrt{n}}a,B=?\frac{1}{\sqrt{5}}b \\ 有F(x)=\frac{a}{\sqrt{5}}\frac{1}{1?ax}?\frac{b}{\sqrt{5}}\frac{B}{1?bx} \\ 由\sum _{n\ge 0}{C}_{n+m}^n{x}^n=\frac{1}{(1?x{)}^{m+1}} \\ 可解得斐波那契生成函數(shù)的第n項系數(shù)，a_n=\frac{a}{\sqrt{5}}{a}^n?\frac{b}{\sqrt{5}}{b}^n \\ {a}_n=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^{n+1}?(\frac{1?\sqrt{5}}{2}{)}^{n+1}) \end{gathered}$$

一道生成函數(shù)模板題

由題意可列出式子
$$\begin{gathered} \sum _{n\ge 0}{x}^{6n}=\frac{1}{1?x^6} \\ \sum _{n\ge 0}^9{x}^n=\frac{x^{10}?1}{x?1} \\ \sum _{n\ge 0}^5{x}^n=\frac{x^6?1}{x?1} \\ \sum _{n\ge 0}{x}^{4n}=\frac{1}{1?x^4} \\ \sum _{n\ge 0}^7=\frac{x^8?1}{x?1} \\ \sum _{n\ge 0}{x}^{2n}=\frac{1}{1?x^2} \\ \sum _{n\ge 0}^1{x}^n=\frac{x^2?1}{x?1} \\ \sum _{n\ge 0}{x}^{8n}=\frac{1}{1?x^8} \\ \sum _{n\ge 0}{x}^{10n}=\frac{1}{1?x^{10}} \\ \sum _{n\ge 0}^3=\frac{x^4?1}{x?1} \\ 全部乘起來得到\frac{1}{(1?x{)}^5} \\ 得到第n項為C_{n+4}^n=C_{n+4}^4 \end{gathered}$$

#3027. [Ceoi2004]Sweet

題目就是要我們求：
$$\begin{gathered} F(x)=\prod _{i=1}^n\frac{1?x^{m_i+1}}{1?x} \\ F(x)(1?x{)}^n=\prod _{i=1}^{n}1?x^{m_i+1} \end{gathered}$$
只需要暴力展開左右兩邊，枚舉系數(shù)即可求得，

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎勵來咯，堅持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的生成函数简单入门的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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