P4331 [BalticOI 2004]Sequence 數字序列

給定一個序列整數$a_1,a_2,a_3,\dots ,a_{n?1},a_n$，要找一個整數序列$b$，滿足$b_1<b_2<b_3<?<b_{n?1}<b_n$，使$\sum _{i=1}^n\mid a_i?b_i\mid$最小。

先對$a_i$整體減去$i$，也就是$a_i=a_i?i$，最后我們再對答案加上對應的做標，這個問題就變成找一個非遞減序列了，$b_1\le b_2\le ?\le b_n$。

考慮兩種特殊情況：

• ① $a_1\le a_2\le ?\le a_n$，顯然有答案為$b_i=a_i$。
• ② $a1\ge a_2\ge ?\ge a_n$，顯然有答案為$b_i=a$的中位數。

特殊情況一般化：

我們可以考慮把整個序列分成$m,(m\le n)$段，對每段特殊地考慮，有區間長度為一的時候，是符合第一個條件的可把區間答案設置為$b_i$。

對于相鄰的區間，如果滿足$ans[i?1]\le ans[i]$，顯然我們可以不做改變，即這就是一個合法的且最優的答案。

如果相鄰的區間存在$ans[i?1]\ge ans[i]$，那么我們就要對這兩個區間做一定的變化了，由②可知，我們選這兩段區間的中位數可使改變后的答案也是最優的。

根據上述可知，我們需要快速合并一段區間，并且需要快速求出這段合并的區間的中位數，考慮用可并堆實現即可。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1e6 + 10;int ls[N], rs[N], value[N], dis[N];int root[N], sz[N], l[N], r[N], ans[N], n, cnt;int merge(int x, int y) {if (!x || !y) {return x | y;}if (value[x] < value[y]) {swap(x, y);}rs[x] = merge(rs[x], y);if (dis[ls[x]] < dis[rs[x]]) {swap(ls[x], rs[x]);}dis[x] = dis[rs[x]] + 1;return x; }int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d", &value[i]);value[i] -= i;}for (int i = 1; i <= n; i++) {cnt++;root[cnt] = i, l[cnt] = i, r[cnt] = i, sz[cnt] = 1, ans[cnt] = value[i];while (cnt > 1 && ans[cnt - 1] > ans[cnt]) {cnt--;root[cnt] = merge(root[cnt], root[cnt + 1]);sz[cnt] += sz[cnt + 1];r[cnt] = r[cnt + 1];while (sz[cnt] > (r[cnt] - l[cnt] + 3) / 2) {sz[cnt]--;root[cnt] = merge(ls[root[cnt]], rs[root[cnt]]);}ans[cnt] = value[root[cnt]];}}long long res = 0;for (int i = 1; i <= cnt; i++) {for (int j = l[i]; j <= r[i]; j++) {res += abs(value[j] - ans[i]);}}printf("%lld\n", res);for (int i = 1; i <= cnt; i++) {for (int j = l[i]; j <= r[i]; j++) {printf("%d%c", ans[i] + j, j == n ? '\n' : ' ');}}return 0; }

總結

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