蒼天阻我尋你，此情堅貞如一

給定兩個長度為$n$的數組$a,b$，滿足$?10^3\le a_i,b_i\le 10^3$，每個數字$x$表示向前走$x$步，如果是負數則后退嘛，設小$A$執行$a$數組，小$B$執行$b$數組。

有三種操作：

• 把$a$數組中下標為$x$的數修改為$y$。
• 把$b$數組中下標為$x$的數修改為$y$。
• 如果小$A$起始位置在$x$，小$B$起始位置在$y$，問如果他們各自按照數組$a,b$執行，在第幾步能夠行動軌跡重合。

如何判定行動軌跡重合：

假設小$A$走過的區間為$[l1,r1]$，小$B$走過的區間為$[l2,r2]$，如果重合則有$max(l1,l2)\le min(r1,r2)$，

接下來如何確定小$A$和小$B$走過的區間，設$a$數組的前綴和數組為$sum\_a$，$b$數組的前綴和數組為$sum\_b$，

數組$sum\_a$的前綴最小，前綴最大值數組為$min\_a,max\_a$，數組$sum\_b$的前綴最小，前綴最大值數組為$min\_b,max\_b$，

由小$A$，小$B$的初始位置$x,y$，可以確定$l1=min(x,x+min\_a,r1=max(x,x+max\_a),l2=min(y,y+min\_b,r2=max(y,y+max\_b)$。

所以有一個較為暴力的算法 二分 + 線段樹 去$check$答案，當時這樣操作復雜度是$O(n{\log }^{2}n)$的，對于$n=10^6$的數據顯然是不可行的。

考慮線段樹上二分：

假設當前答案在區間為$[l,r]$，如果答案在$[mid+1,r]$上，一定有$[1,mid]$這段區間的前綴最大，前綴最小得到的兩個區間是不相交的，

另開四個變量來記錄區間$[1,l?1]$中$A$的前綴最小， 最大，$B$的前綴最小，最大，

用這四個變量跟區間$[l,mid]$的最大最小來判斷，答案是否落在$[l,mid]$之間，直到遞歸到葉節點，進行判斷是否符合條件即可。

#include <bits/stdc++.h> #define mid (l + r >> 1) #define lson rt << 1, l, mid #define rson rt << 1 | 1, mid + 1, r #define ls rt << 1 #define rs rt << 1 | 1using namespace std;typedef pair<int, int> pii;const int N = 1e6 + 10;int a[N], b[N], sum[N], n, m;struct Seg_tree {int maxn[N << 2], minn[N << 2], lazy[N << 2];void push_up(int rt) {minn[rt] = min(minn[ls], minn[rs]);maxn[rt] = max(maxn[ls], maxn[rs]);}void push_down(int rt) {if (!lazy[rt]) {return ;}lazy[ls] += lazy[rt], lazy[rs] += lazy[rt];minn[ls] += lazy[rt], minn[rs] += lazy[rt];maxn[ls] += lazy[rt], maxn[rs] += lazy[rt];lazy[rt] = 0;}void build(int rt, int l, int r) {if (l == r) {maxn[rt] = minn[rt] = sum[l];return ;}build(lson);build(rson);push_up(rt);}void update(int rt, int l, int r, int L, int R, int v) {if (l >= L && r <= R) {lazy[rt] += v;minn[rt] += v, maxn[rt] += v;return ;}push_down(rt);if (L <= mid) {update(lson, L, R, v);}if (R > mid) {update(rson, L, R, v);}push_up(rt);}pii query(int rt, int l, int r, int L, int R) {if (l >= L && r <= R) {return {minn[rt], maxn[rt]};}push_down(rt);pii ans = {0x3f3f3f3f, -0x3f3f3f3f};if (L <= mid) {pii res = query(lson, L, R);ans.first = min(ans.first, res.first);ans.second = max(ans.second, res.second);}if (R > mid) {pii res = query(rson, L, R);ans.first = min(ans.first, res.first);ans.second = max(ans.second, res.second);}return ans;} }A, B;bool judge(int l1, int r1, int l2, int r2, int x, int y) {l1 = min(x, x + l1), r1 = max(x, x + r1);l2 = min(y, y + l2), r2 = max(y, y + r2);int L = max(l1, l2), R = min(r1, r2);return L <= R; }int query(int rt, int l, int r, int min_a, int max_a, int min_b, int max_b, int x, int y) {if (l == r) {int cur_mina = min(min_a, A.minn[rt]), cur_maxa = max(max_a, A.maxn[rt]);int cur_minb = min(min_b, B.minn[rt]), cur_maxb = max(max_b, B.maxn[rt]);if (judge(cur_mina, cur_maxa, cur_minb, cur_maxb, x, y)) {return l;}return -1;}A.push_down(rt), B.push_down(rt);int cur_mina = min(min_a, A.minn[ls]), cur_maxa = max(max_a, A.maxn[ls]);int cur_minb = min(min_b, B.minn[ls]), cur_maxb = max(max_b, B.maxn[ls]);if (judge(cur_mina, cur_maxa, cur_minb, cur_maxb, x, y)) {return query(lson, min_a, max_a, min_b, max_b, x, y);}else {return query(rson, cur_mina, cur_maxa, cur_minb, cur_maxb, x, y);} }int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);scanf("%d %d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d", &a[i]);sum[i] = sum[i - 1] + a[i];}A.build(1, 1, n);for (int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d", &b[i]);sum[i] = sum[i - 1] + b[i];}B.build(1, 1, n);for (int i = 1, op, x, y; i <= m; i++) {scanf("%d %d %d", &op, &x, &y);if (op == 1) {A.update(1, 1, n, x, n, -a[x]);a[x] = y;A.update(1, 1, n, x, n, a[x]);}else if (op == 2) {B.update(1, 1, n, x, n, -b[x]);b[x] = y;B.update(1, 1, n, x, n, b[x]);}else {if (x == y) {puts("0");continue;}printf("%d\n", query(1, 1, n, 0x3f3f3f3f, 0, 0x3f3f3f3f, 0, x, y));}}return 0; }

總結

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