一、平衡二叉樹的定義

平衡二叉樹（Balanced Binary Tree）又被稱為AVL樹，它且具有以下性質：

（1）它是一棵空樹或它的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1；

（2）并且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹。

把二叉樹的每個節點的左子樹減去右子樹定義為該節點的平衡因子。二叉平衡樹的平衡因子只能是1、0或者-1。

需要注意的是，平衡二叉樹是對二叉搜索樹(又稱為二叉排序樹)的一種改進。二叉搜索樹有一個缺點就是，樹的結構是無法預料的，隨意性很大，它只與節點的值和插入的順序有關系，往往得到的是一個不平衡的二叉樹。在最壞的情況下，可能得到的是一個退化（單支）二叉樹，其高度和節點數相同，相當于一個單鏈表，對其進行查找的時間復雜度由O(logn)變成了O(n)，從而喪失了二叉排序樹的一些應該有的優點。

二、平衡二叉樹AVL調整

在平衡二叉樹中刪除或插入節點后，可能會使某些節點的平衡因子的絕對值大于 ，即樹失去了平衡，這時候就需要進行平衡調整，使其重新滿足平衡二叉樹的要求。

調整平衡二叉樹之前，首先要明白一個定義：最小不平衡子樹。最小不平衡子樹是指以離插入節點最近、且平衡因子絕對值大于1的節點做根的子樹。

平衡二叉樹的調整主要分為四種：

（1）單向右旋平衡處理LL：由于在*a的左子樹根節點的左子樹上插入節點，*a的平衡因子由1增至2，致使以*a為根的子樹失去平衡，則需進行一次右旋轉操作；

如下圖所示：發生不平衡（平衡因子絕對值大于1）的節點和插入的節點在一條直線上，如同 ?/ ?狀，則只需要進行一次向右旋轉即可。旋轉之后，不平衡節點的左孩子的右子樹，需要移動到不平衡節點的左子樹上。

（2）單向左旋平衡處理RR：由于在*a的右子樹根節點的右子樹上插入節點，*a的平衡因子由-1變為-2，致使以*a為根的子樹失去平衡，則需進行一次左旋轉操作；

如下圖所示：發生不平衡（平衡因子絕對值大于1）的節點和插入的節點在一條直線上，如同??\?狀，則只需要進行一次向左旋轉即可。旋轉之后，不平衡節點的右孩子的左子樹，需要移動到不平衡節點的右子樹上。

（3）雙向旋轉（先左后右）平衡處理LR：由于在*a的左子樹根節點的右子樹上插入節點，*a的平衡因子由1增至2，致使以*a為根的子樹失去平衡，則需進行兩次旋轉（先左旋后右旋）操作。

如下圖所示：發生不平衡（平衡因子絕對值大于1）的節點和插入的節點不在一條直線上，如同??<?狀，則首先需要進行一次向左旋轉，然后進行一次向右旋轉。

（4）雙向旋轉（先右后左）平衡處理RL：由于在*a的右子樹根節點的左子樹上插入節點，*a的平衡因子由-1變為-2，致使以*a為根的子樹失去平衡，則需進行兩次旋轉（先右旋后左旋）操作。

如下圖所示：發生不平衡（平衡因子絕對值大于1）的節點和插入的節點不在一條直線上，如同??>?狀，則首先需要進行一次向右旋轉，然后進行一次向左旋轉。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的平衡二叉树AVL详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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