分治法

分治算法的基本思想是將一個規模為N的問題分解為K個規模較小的子問題，這些子問題相互獨立且與原問題性質相同。求出子問題的解，就可得到原問題的解。即一種分目標完成程序算法，簡單問題可用二分法完成。

分治法解題的一般步驟：

分解，將要解決的問題劃分成若干規模較小的同類問題；

求解，當子問題劃分得足夠小時，用較簡單的方法解決；

合并，按原問題的要求，將子問題的解逐層合并構成原問題的解。

實現方法：分治法一般是通過遞歸調用實現的。例如排序算法(快速排序，歸并排序)，傅里葉變換(快速傅里葉變換)等。

分治法使用場景

該問題的規模縮小到一定的程度就可以容易的解決。

該問題可以分解為若干個規模較小的相同問題，即該問題具有最優子結構性質。

利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解。

該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子問題。

第一條特征是絕大多數問題可以滿足的，問題的復雜性一般是隨著問題規模的增加而增加；第二條特征是應用分治法的前提。它是大多數問題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應用。第三條特征是關鍵，能否利用分治法完全取決于問題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條，而不具備第三條特征，則可以考慮使用貪心法或者動態規劃法。第四條關系到分治法的效率，如果各個子問題是不獨立的則分治法要做尋多不必要的工作，重復的解決公共的子問題，此時雖然可用分治法，但一般使用動態規劃法較好。

歸并排序

歸并排序是采用分治法的一個非常典型的應用。歸并排序的思想就是先遞歸分解數組，再合并數組。

將數組分解最小之后，然后合并兩個有序數組，基本思路是比較兩個數組的最前面的數，誰小就先取誰，取了后相應的指針就往后移一位。然后再比較，直至一個數組為空，最后把另一個數組的剩余部分復制過來即可。

def merge_sort(alist):# 終止條件if len(alist) <= 1:return alist# 二分分解num = len(alist)//2left = merge_sort(alist[:num])right = merge_sort(alist[num:])# 合并return merge(left,right)def merge(left, right):'''合并操作，將兩個有序數組left[]和right[]合并成一個大的有序數組'''#left與right的下標指針l, r = 0, 0result = []while l<len(left) and r<len(right):if left[l] < right[r]:result.append(left[l])l += 1else:result.append(right[r])r += 1result += left[l:]result += right[r:]return resultalist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20] sorted_alist = merge_sort(alist) print(sorted_alist)#時間復雜度O(nlogn)

運行結果：
[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]

快速排序

快速排序（英語：Quicksort），又稱劃分交換排序（partition-exchange sort），通過一趟排序將要排序的數據分割成獨立的兩部分，其中一部分的所有數據都比另外一部分的所有數據都要小，然后再按此方法對這兩部分數據分別進行快速排序，整個排序過程可以遞歸進行，以此達到整個數據變成有序序列。

步驟為：

從數列中挑出一個元素，稱為"基準"（pivot），

重新排序數列，所有元素比基準值小的擺放在基準前面，所有元素比基準值大的擺在基準的后面（相同的數可以到任一邊）。在這個分區結束之后，該基準就處于數列的中間位置。這個稱為分區（partition）操作。

遞歸地（recursive）把小于基準值元素的子數列和大于基準值元素的子數列排序。

遞歸的最底部情形，是數列的大小是零或一，也就是永遠都已經被排序好了。雖然一直遞歸下去，但是這個算法總會結束，因為在每次的迭代（iteration）中，它至少會把一個元素擺到它最后的位置去。

# 快速排序 # 思路：尋抓元素的正確位置，左邊的元素都小于該元素，右邊的都大于該元素 # 移動游標low，high不動則交換直到相遇(可同時交換，也可異步交換) def quick_sort(alist,first,end):# 終止條件if first >= end:returnn = len(alist)mid_value = alist[first]low = firsthigh = endwhile low <high:# 注意處理特殊情況，遇到相等的元素放在一邊處理while low < high and alist[high] >= mid_value:high -= 1alist[low] =alist[high]# low += 1while low < high and alist[low] < mid_value:low += 1alist[high] = alist[low]# high -= 1# 代碼執行到此，alist[0]找到正確位置，解析來把劃分出來的兩段新列表遞歸執行alist[low] = mid_value# 遞歸部分# 對基準元素左邊的子序列進行快速排序quick_sort(alist,first,low-1)# 對基準元素右邊的子序列進行快速排序quick_sort(alist,low+1,end)alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20] quick_sort(alist,0,len(alist)-1) print(alist)

運行結果：[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]

多數元素

給定一個大小為 n 的數組，找到其中的多數元素。多數元素是指在數組中出現次數 大于 ? n/2 ? 的元素。

你可以假設數組是非空的，并且給定的數組總是存在多數元素。

class Solution:def majorityElement(self, nums: List[int]) -> int:# 該題分治法不是最優解，但是很好的練習return self.getmajrity(nums,0,len(nums)-1)def getmajrity(self,nums,left,right):# 終止條件if left == right:return nums[left]mid = left + (right - left) // 2leftmajrity = self.getmajrity(nums,left,mid)rightmajrity = self.getmajrity(nums,mid+1,right)#--------------- 此處為分界線上部分為分，下部分為并----------------------# 當左邊的多數元素 與 右邊的多數元素相等時：返回其中任一值，如左邊if leftmajrity == rightmajrity: # 算是一個小優化(可以不要)return leftmajrity# # 如果不相等，需要分別計算左右兩邊，然后比較leftcount,rightcount = 0,0for i in nums[left:right+1]: ## 這里需要+1 否則nums[right]取不到if i == leftmajrity:leftcount += 1elif i == rightmajrity:rightcount += 1if leftcount >= rightcount:return leftmajrityelse:return rightmajrity

最大子序列和

給定一個整數數組 nums ，找到一個具有最大和的連續子數組（子數組最少包含一個元素），返回其最大和。

class Solution:def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:n = len(nums)#遞歸終止條件if n == 1:return nums[0]mid = len(nums) // 2#遞歸計算左半邊最大子序和max_left = self.maxSubArray(nums[:mid])#遞歸計算右半邊最大子序和max_right = self.maxSubArray(nums[mid:])# -----------分界線 上面為分 下面為并----------------------------#計算中間的最大子序和，從右到左計算左邊的最大子序和，從左到右計算右邊的最大子序和，再相加max_l = nums[mid - 1]tmp = 0for i in range(mid - 1, -1, -1):tmp += nums[i]max_l = max(tmp, max_l)max_r = nums[mid]tmp = 0for i in range(mid, len(nums)):tmp += nums[i]max_r = max(tmp, max_r)#返回三個中的最大值return max(max_right,max_left,max_l+max_r)

參考資料

leetcode 官網
https://zhuanlan.zhihu.com/p/72734354

總結

以上是生活随笔為你收集整理的递归算法（二）-分治法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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