數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法–AVL樹(shù)原理及實(shí)現(xiàn)

• AVL（Adelson-Velskii 和landis）樹(shù)是帶有平衡條件的二叉查找樹(shù)，這個(gè)平衡條件必須容易實(shí)現(xiàn)，并且保證樹(shù)的深度必須是O(logN)。因此我們讓一棵AVL樹(shù)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)和右子樹(shù)的高度最多相差1（空樹(shù)高度定義-1）如下圖，左邊是AVL樹(shù)，右邊不是AVL樹(shù)。
• 左圖中3 節(jié)點(diǎn)左子樹(shù)高度0，右子樹(shù)高度1，相差不超過(guò)1。
• 右圖中節(jié)點(diǎn)3，左子樹(shù)蓋度0，右子樹(shù)高度2，相差超過(guò)1，不滿(mǎn)足AVL數(shù)要求。
• 我們可以在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)中保留高度信息，那我們可以推算出如下 高度h 與節(jié)點(diǎn)之間關(guān)系的公式
  • 在高度h的AVL樹(shù)中，最少節(jié)點(diǎn)數(shù)S(h)由S(h)=S(h-1)+S(h-2)+1標(biāo)識(shí)
  • 對(duì)于h，S(h)=1; h=1, S(h)=2，明顯函數(shù)S(h)與斐波那契數(shù)列密切相關(guān)，由此我們可以推算出AVL數(shù)的高度的界限1.44log(N+2)-1.328。

insert分析

• 經(jīng)過(guò)如上高度，限制條件分析，我們可以認(rèn)為，AVL樹(shù)操作都可以以時(shí)間O(logN)執(zhí)行。當(dāng)插入操作時(shí)候，我們需要更通向根節(jié)點(diǎn)路徑上那些節(jié)點(diǎn)的所有平衡信息，而插入操作比較棘手的地方子阿姨，一個(gè)插入節(jié)點(diǎn)可能破壞AVL的平衡性。

  • 上圖中左圖插入數(shù)據(jù)5，變成右圖，平衡性改變，不符合AVL樹(shù)特性

• 因此我們需要考慮在insert之后恢復(fù)平衡性，這種操作總可以通過(guò)樹(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的修正做到，我們成為旋轉(zhuǎn)。

• 我們將insert后必須重新平衡的節(jié)點(diǎn)記錄為a。由于任意節(jié)點(diǎn)最多兩個(gè)兒子，因此出現(xiàn)高度不平衡需要a的左右子樹(shù)的高度相差2，容易推出如下四種情況：

  • 對(duì)a的左子樹(shù)的左子樹(shù)進(jìn)行一次insert
  • 對(duì)a的左子樹(shù)的右子樹(shù)進(jìn)行一次insert
  • 對(duì)a的右子樹(shù)的左子樹(shù)進(jìn)行一次insert
  • 對(duì)a的右子樹(shù)的右子樹(shù)進(jìn)行一次insert

• 上面四點(diǎn)中 第一點(diǎn)與第四點(diǎn)鏡像對(duì)稱(chēng)，第二點(diǎn)和第三點(diǎn)鏡像對(duì)稱(chēng)，理論上我們只需要實(shí)現(xiàn)兩種就可以同樣的實(shí)現(xiàn)方法得出對(duì)稱(chēng)的方法。

• 第一種情況發(fā)生在外側(cè)情況（左左或者右右），該情況通過(guò)一次單旋轉(zhuǎn)可以完成跳轉(zhuǎn)。

• 第二中情況發(fā)生在內(nèi)部(左右或者右左)，這種情況需要復(fù)雜一些的雙旋轉(zhuǎn)。

單旋轉(zhuǎn)

• 如上圖左圖中的樹(shù)節(jié)點(diǎn)4不滿(mǎn)足AVL樹(shù)，因?yàn)樗淖笞訕?shù)的深度比右子樹(shù)深2層，改圖中描述的情況是第一點(diǎn)1中描述的情況。在插入2 節(jié)點(diǎn)之后，原來(lái)滿(mǎn)足AVL數(shù)的性質(zhì)遭到了破壞，子樹(shù) 3多出了一層我們需要調(diào)整節(jié)點(diǎn)然他在平衡。
• 我們將3節(jié)點(diǎn)上移，并且將4節(jié)點(diǎn)下移，得到右圖中所示的新的樹(shù)滿(mǎn)足AVL特性
• 我們可以形象的將樹(shù)看成是柔軟的，抓住3 節(jié)點(diǎn)向上提在重力的作用下3節(jié)點(diǎn)變成了新的根節(jié)點(diǎn)（子樹(shù)的根）。由于二叉查找樹(shù)的特性，4>3，
  • 所以4節(jié)點(diǎn)變成了3節(jié)點(diǎn)的右節(jié)點(diǎn)。
  • 如果3 有右節(jié)點(diǎn)x，那么3的右節(jié)點(diǎn)應(yīng)該變成4的左節(jié)點(diǎn)，因?yàn)閤>3 并且x<4
  • 2的左右節(jié)點(diǎn)不變，4的右節(jié)點(diǎn)不變
    -我們?cè)趤?lái)插入一個(gè)數(shù)據(jù)1 ，得出如下結(jié)果：

• 如上左圖我們插入1 后，破壞了5 根節(jié)點(diǎn)的平衡性，5節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)深度3， 右子樹(shù)深度1，超過(guò)2，因此我們應(yīng)該在3 節(jié)點(diǎn)處進(jìn)行如上步驟的操作得到最終的AVL數(shù)右圖：
  • 3節(jié)點(diǎn)編程根節(jié)點(diǎn)，5節(jié)點(diǎn)編程3的右節(jié)點(diǎn)
  • 3的右節(jié)點(diǎn)交給5的左節(jié)點(diǎn)
  • 其他節(jié)點(diǎn)不變

雙旋轉(zhuǎn)

• 上面案例中的算法小時(shí)，在下圖找那個(gè)是無(wú)效的：
  

• 如上左圖到右圖的變化，9節(jié)點(diǎn)在插入 7 節(jié)點(diǎn)后，時(shí)序平衡性，我們?cè)?與9節(jié)點(diǎn)之間作旋轉(zhuǎn)，按上面描述的算法，得到右圖，還是非AVL數(shù)

• 我們通過(guò)如上的實(shí)驗(yàn)得出5 和9 之間的旋轉(zhuǎn)無(wú)法解決問(wèn)題。也就是5， 9 作為根都無(wú)法得到一個(gè)平衡樹(shù)，那么只能由6 節(jié)點(diǎn)作為跟節(jié)點(diǎn)

• 如此的話(huà)，節(jié)點(diǎn)的順序就一目了然了： 5節(jié)點(diǎn)是6左子樹(shù)，9 是右子樹(shù)，7 變?yōu)? 的左子樹(shù)。得到如下結(jié)果：

• 我們繼續(xù)接著上面的案例插入 15， 14，13。插入13容易，因?yàn)樗粫?huì)破壞節(jié)點(diǎn)的平衡性，但是插入12 之后硬氣10 節(jié)點(diǎn)的高度不平衡，這個(gè)屬于上面描述的情況3 的案例：需要通過(guò)一次右-左雙旋來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。
• 如上左圖中，右-左旋流程：
  • 我們先在15 節(jié)點(diǎn)和14節(jié)點(diǎn)之間做一次右旋轉(zhuǎn)，我們?cè)谧鲞@次右旋轉(zhuǎn)流程時(shí)候，假設(shè)14節(jié)點(diǎn)左節(jié)點(diǎn)還有一個(gè)節(jié)點(diǎn)是我們假設(shè)的虛擬節(jié)點(diǎn)
  • 那么此時(shí)15 節(jié)點(diǎn)就滿(mǎn)足上述情況中的第一點(diǎn)左 左描述情況，那么我們用右旋得到如下圖情況：
    
• 如上圖我們完成了第一次右邊選擇，圖中虛線(xiàn)表示虛擬節(jié)點(diǎn)不存在
• 那么我們?cè)倏创藭r(shí)10 節(jié)點(diǎn)也是不符合平衡性質(zhì)，而且恰好此時(shí)滿(mǎn)足第四點(diǎn)情況描述的右右的描述
• 那么我們按照之前的算法描述需要對(duì)10，14 節(jié)點(diǎn)之間進(jìn)行左旋得到如下結(jié)果

總結(jié)

• 至此我們對(duì)上面兩種旋轉(zhuǎn)做一個(gè)總結(jié)，為了將項(xiàng)X的一個(gè)新節(jié)點(diǎn)插入到一個(gè)AVL樹(shù)中，
  • 我們遞歸的將X插入到T數(shù)對(duì)應(yīng)的子樹(shù)位置，記錄改子樹(shù)為T(mén)_lr
  • 如果T_lr的高度不變那么插入完成
  • 如果T中出現(xiàn)高度不平衡，則根據(jù)X以及T和T_lr中項(xiàng)做適當(dāng)?shù)膯涡蛘唠p旋來(lái)更新這些高度
  • 解決旋轉(zhuǎn)之后其他節(jié)點(diǎn)的歸屬問(wèn)題
• 經(jīng)過(guò)如上分析，我們給出以下實(shí)現(xiàn)（二叉查找樹(shù)上一節(jié)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行修改）：

算法實(shí)現(xiàn)

• 節(jié)點(diǎn)定義，還是和上一節(jié)二叉查找樹(shù)中類(lèi)似，只不過(guò)我們?cè)诠?jié)點(diǎn)中需要維護(hù)一個(gè)高度信息，并且修改了comparable方法。如下實(shí)現(xiàn)：

/*** 二叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)對(duì)象定義** @author liaojiamin* @Date:Created in 15:24 2020/12/11*/ public class BinaryNode implements Comparable {private Object element;private BinaryNode left;private BinaryNode right;/*** 樹(shù)高度*/private int height;private int count;public BinaryNode(Object element, BinaryNode left, BinaryNode right) {this.element = element;this.left = left;this.right = right;this.count = 1;this.height = 0;}public int getHeight() {return height;}public void setHeight(int height) {this.height = height;}public Object getElement() {return element;}public void setElement(Object element) {this.element = element;}public BinaryNode getLeft() {return left;}public void setLeft(BinaryNode left) {this.left = left;}public BinaryNode getRight() {return right;}public void setRight(BinaryNode right) {this.right = right;}public int getCount() {return count;}public void setCount(int count) {this.count = count;}@Overridepublic int compareTo(Object o) {if (o == null) {return 1;}int flag;if (o instanceof Integer) {int myElement = (int) this.element - (int) o;flag = myElement > 0 ? 1 : myElement == 0 ? 0 : -1;} else {flag = this.element.toString().compareTo(o.toString());}if (flag == 0) {return 0;} else if (flag > 0) {return 1;} else {return -1;}} }

• 單左旋，單右旋代碼實(shí)現(xiàn)：

/*** 左單旋一次* */private BinaryNode rotateWithLeftChild(BinaryNode k2){BinaryNode k1 = k2.getLeft();k2.setLeft(k1.getRight());k1.setRight(k2);k2.setHeight(Math.max(height(k2.getLeft()), height(k2.getRight())) + 1);k1.setHeight(Math.max(height(k1.getLeft()), height(k2)) + 1);return k1;}/*** 右單旋一次* */private BinaryNode rotateWithRightChild(BinaryNode k2){BinaryNode k1 = k2.getRight();k2.setRight(k1.getLeft());k1.setLeft(k2);k2.setHeight(Math.max(height(k2.getLeft()), height(k2.getRight())) + 1);k1.setHeight(Math.max(height(k2), height(k1.getRight())) + 1);return k1;}

• 如上代碼實(shí)現(xiàn)，用下圖說(shuō)明，6節(jié)點(diǎn)因?yàn)? 的插入破壞平衡性
  • 我們?cè)?節(jié)點(diǎn)和5節(jié)點(diǎn)之前進(jìn)行選擇
  • 5節(jié)點(diǎn)成為新根節(jié)點(diǎn)
  • 6 節(jié)點(diǎn)成為5節(jié)點(diǎn)的右節(jié)點(diǎn)
  • 5節(jié)點(diǎn)的右節(jié)點(diǎn)編程6節(jié)點(diǎn)的左節(jié)點(diǎn)
  • 和如上左旋流程一樣，達(dá)到目的

• 雙左旋，雙右旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)：

/*** 右旋轉(zhuǎn) 接左旋轉(zhuǎn)，雙旋轉(zhuǎn)* */private BinaryNode doubleWithLeftChild(BinaryNode k3){k3.setLeft(rotateWithRightChild(k3.getLeft()));return rotateWithLeftChild(k3);}/*** 左旋轉(zhuǎn) 接右旋轉(zhuǎn)，雙旋轉(zhuǎn)* */private BinaryNode doubleWithRightchild(BinaryNode k3){k3.setRight(rotateWithLeftChild(k3.getRight()));return rotateWithRightChild(k3);}

• 雙旋的情況我們將他看出是兩段，兩段分別進(jìn)行單旋操作:

  • 第一步，如下圖，有K2節(jié)點(diǎn)進(jìn)行右旋得到右圖中樹(shù)結(jié)構(gòu)
    

• 第二步，對(duì)k3進(jìn)行左旋

• 刪除操作，添加操作：添加操作破壞平衡性，之后在糾正，由于二叉查找樹(shù)的刪除比插入更加復(fù)雜，英雌AVL刪除也同樣，我們也可以和insert方法一樣，在insert之后在糾正平衡性，這樣就可以在二叉查找樹(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行很簡(jiǎn)單的實(shí)現(xiàn)：

/*** 插入節(jié)點(diǎn)** @author: liaojiamin* @date: 15:48 2020/12/15*/private BinaryNode insert(Object x, BinaryNode t) {if (x == null) {return t;}if (t == null || t.getElement() == null) {t = new BinaryNode(x, null, null);return t;}int flag = t.compareTo(x);if (flag > 0) {t.setLeft(insert(x, t.getLeft()));} else if (flag < 0) {t.setRight(insert(x, t.getRight()));} else {t.setCount(t.getCount() + 1);}return balance(t);}/*** 刪除節(jié)點(diǎn)** @author: liaojiamin* @date: 15:48 2020/12/15*/private BinaryNode remove(Object x, BinaryNode t) {if (x == null) {return t;}int flag = t.compareTo(x);if (flag > 0) {return remove(x, t.getLeft());} else if (flag < 0) {return remove(x, t.getRight());} else if (t.getLeft() != null && t.getRight() != null) {//找到對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)，將節(jié)點(diǎn)右子樹(shù)下面最小的值替換當(dāng)前值BinaryNode min = findMin(t.getRight());t.setElement(min.getElement());//遞歸刪除右子樹(shù)下最小值remove(min.getElement(), t.getRight());} else {//找到對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)，但是當(dāng)前節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)子節(jié)點(diǎn)// 遞歸思想：只考慮最簡(jiǎn)單情況，當(dāng)只有當(dāng)前節(jié)點(diǎn)與其左子節(jié)點(diǎn)，刪除當(dāng)前節(jié)點(diǎn)返回當(dāng)節(jié)點(diǎn)左子節(jié)點(diǎn)，右節(jié)點(diǎn)同理t = t.getLeft() != null ? t.getLeft() : t.getRight();}return balance(t);}

• 平衡性糾正方法：

private static final int MAXBALANCE_HEIGH = 1;/*** 平衡查找二叉樹(shù)** */public BinaryNode balance(BinaryNode t){if(t == null){return t;}if(height(t.getLeft()) - height(t.getRight()) > MAXBALANCE_HEIGH){if(height(t.getLeft().getLeft()) >= height(t.getLeft().getRight())){t = rotateWithLeftChild(t);}else {t = doubleWithLeftChild(t);}}else if(height(t.getRight()) - height(t.getLeft()) > MAXBALANCE_HEIGH ){if(height(t.getRight().getRight()) >= height(t.getRight().getLeft())){t = rotateWithRightChild(t);}else {t = doubleWithRightchild(t);}}t.setHeight(Math.max(height(t.getLeft()), height(t.getRight())) + 1);return t;}

• 其他方法：

/*** 按順序打印節(jié)點(diǎn)信息：左中右** @author: liaojiamin* @date: 15:48 2020/12/15*/public void printTree(BinaryNode t) {if (t == null || t.getElement() == null) {return;}printTree(t.getLeft());for (int i = 0; i < t.getCount(); i++) {System.out.print(t.getElement() + " ");}printTree(t.getRight());}/*** 獲取樹(shù)高度* */private int height(BinaryNode t){return t == null ? -1 : t.getHeight();}public void makeEmpty(BinaryNode root) {root = null;}public boolean isEmpty(BinaryNode root) {return root == null;}public static void main(String[] args) {BinaryNode node = new BinaryNode(null, null, null);AvlTree searchTree = new AvlTree();Random random = new Random();for (int i = 0; i < 20; i++) {node = searchTree.insert(random.nextInt(100), node);}System.out.println(searchTree.findMax(node).getElement());System.out.println(searchTree.findMin(node).getElement());searchTree.printTree(node);if(!searchTree.contains(13, node)){node = searchTree.insert(13, node);}System.out.println(searchTree.contains(13, node));node = searchTree.remove(13, node);System.out.println(searchTree.contains(13, node));}/*** 節(jié)點(diǎn)元素是否存在** @author: liaojiamin* @date: 15:48 2020/12/15*/private boolean contains(Object x, BinaryNode t) {if (x == null) {return false;}if (t == null) {return false;}int flag = t.compareTo(x);if (flag > 0) {return contains(x, t.getLeft());} else if (flag < 0) {return contains(x, t.getRight());} else {return true;}}/*** 查找最小元素節(jié)點(diǎn)** @author: liaojiamin* @date: 15:48 2020/12/15*/private BinaryNode findMin(BinaryNode t) {if (t == null) {return null;}if (t.getLeft() != null) {return findMin(t.getLeft());}return t;}/*** 查找最大元素節(jié)點(diǎn)** @author: liaojiamin* @date: 15:48 2020/12/15*/private BinaryNode findMax(BinaryNode t) {if (t == null) {return null;}if (t.getRight() != null) {return findMax(t.getRight());}return t;}

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构与算法--面试必问AVL树原理及实现的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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